黄金分割实验报告.docx

黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分为三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间做同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 实验报告——黄金分割法 黄金分割法是一种在一维搜索中寻找极小值的优化算法，尤其适用于处理在区间[a, b]内的单谷函数。它基于区间消去法的原理，通过对函数值的比较来逐步缩小搜索范围。黄金分割法因其插入点与区间端点的对称性以及比例关系与黄金分割比例（约0.618）相吻合而得名。 在黄金分割法中，首先确定两个插入点a1和a2，它们位于a和b之间，且满足对称性条件a1 = b - λ(b - a)，a2 = a + λ(b - a)，其中λ是常数。λ的选择使得保留下来的区间与原区间保持相同的黄金分割比例。通过解方程λ² + λ - 1 = 0，我们得到λ ≈ 0.618，这就是著名的黄金分割比例。 算法流程如下： 1. 初始化搜索区间[a, b]和收敛精度ε。 2. 根据λ计算a1和a2，求出对应的函数值f(a1)和f(a2)。 3. 按照区间消去法，删除函数值较大一侧的区间，计算新的试验点及其函数值。 4. 检查是否达到收敛标准，如未达到则返回步骤2。 5. 当满足条件时，取最后两个试验点的平均值作为极小点的近似解。 实验中，我们使用了Dev C++作为编程环境，通过编写程序模拟黄金分割法的过程。例如，考虑最小化函数f(x) = x² - 10x + 36。程序会自动计算各个迭代步长，更新区间，并判断是否达到收敛条件。实验结果显示，随着迭代次数的增加，搜索区间逐渐减小，函数值逐渐接近极小值，最终在迭代若干次后，极小点的数值近似解得以确定。 从实验数据可以看出，黄金分割法在处理连续或不连续的单谷函数时都能有效找到极小点。其优点在于简单易行，但缺点是可能需要较多的迭代次数才能达到较高的精度。因此，在实际应用中，黄金分割法常被用作初步的优化手段，后续可能会结合其他更高级的优化技术，如二分法、梯度下降法等，以提高搜索效率和精度。