黄金分割法是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分为三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间做同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
在科学研究与工程实践领域，寻找函数的极小值问题无处不在。无论是用于解决实际问题，还是在理论研究中探索函数性质，优化算法都扮演着重要的角色。本文将详细探讨一种广泛应用于一维搜索中的优化算法——黄金分割法，它因与黄金分割比例有着密切联系而得名。黄金分割法在数学、物理、工程等众多学科领域中均有广泛的应用，特别是在优化连续且单峰（单谷）函数时效果显著。
黄金分割法的原理基于区间消去法，这是一种试探性的搜索方法。其核心思想是在给定的搜索区间[a, b]内，适当插入两个点a1和a2，并计算它们的函数值。这两个点将区间[a, b]分割成三部分，利用函数的单谷性质，通过比较三个区间段的函数值，可以确定最大函数值所在的区间段，并将其排除在后续搜索之外。这样，通过不断的迭代，搜索区间被逐步缩小，最终得到函数的极小点的数值近似解。
为了实现黄金分割法，首先需要确定两个关键的插入点a1和a2。这两个点与区间端点的关系可以表示为a1 = b - λ(b - a)和a2 = a + λ(b - a)，其中λ是一个重要的比例常数。通过对这个常数的选择，可以保证保留下来的区间与原区间保持相同的黄金分割比例（约0.618）。实际上，这个比例常数是方程λ² + λ - 1 = 0的解，解得λ约为0.618，这也是黄金分割比例的由来。
黄金分割法的算法流程可以概括为以下步骤：
1. 初始化搜索区间[a, b]和收敛精度ε。
2. 根据λ计算a1和a2的值，以及对应的函数值f(a1)和f(a2)。
3. 通过比较f(a1)和f(a2)的大小，根据黄金分割原理删除一个区间，保留函数值较小的一侧。
4. 根据新的区间，计算新的试验点及其函数值。
5. 检查是否达到预定的收敛条件ε。如果没有满足条件，则返回步骤2继续迭代。
6. 一旦满足条件，取最后两个试验点的平均值作为极小点的近似解。
在实验报告中，作者采用了Dev C++作为开发环境，并编写了相应的程序代码来模拟黄金分割法的整个优化过程。例如，考虑最小化函数f(x) = x² - 10x + 36。程序在每次迭代中自动计算新的区间，并根据函数值比较结果更新区间，直到满足收敛条件为止。实验数据显示，随着迭代次数的增加，搜索区间逐渐减小，函数值逐步接近极小值，最终在一定迭代次数后，极小点的数值近似解得以确定。
尽管黄金分割法在操作上相对简单，但它也存在一定的局限性，比如在某些情况下可能需要较多的迭代次数才能达到较高精度。因此，在实际应用中，黄金分割法往往与其他高级优化技术如二分法、梯度下降法等结合使用，以提高搜索效率和精度。
黄金分割法在处理一维搜索问题时，因其原理的直观性、操作的简便性以及在单谷函数优化上的有效性，成为了一种极为有用的数学工具。通过实验报告中的具体案例，我们不仅能够了解到黄金分割法的理论基础，还能通过实验观察到其实际运行效果。这些都为我们提供了深入理解和应用黄金分割法的宝贵经验。
