线性代数重要知识点及典型例题答案.pdf

### 线性代数重要知识点及典型例题答案 #### 第一章 行列式 **1.1 行列式的定义** - **二阶行列式**：由两个行和两个列组成的行列式，计算方式为左上角元素与右下角元素的乘积减去右上角元素与左下角元素的乘积。 - **三阶行列式**：由三个行和三个列组成的行列式，可以通过按照行或列展开的方式来计算，即利用代数余子式的方法。 - **N阶行列式**：一般形式的行列式定义为所有不同行、不同列的\( n \)个元素的乘积的和，其中每个乘积项都有一个正负号，取决于这些元素所在位置的排列顺序。 **1.2 行列式的性质** - **性质1**：行列式中行与列可以互换，行列式的值不变。（**转置行列式** \( D^T = D \)） - **性质2**：如果行列式中的某两行（或两列）互换位置，则行列式的值会改变符号。 - **性质3**：如果将行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以一个常数\( k \)，则新的行列式的值为原行列式值的\( k \)倍。 - **性质4**：如果将行列式的某一行（或一列）的\( k \)倍加到另一行（或列），行列式的值不变。 - **性质5**：如果行列式中存在两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。 - **性质6**：如果行列式中存在一行（或一列）的所有元素都为0，则行列式的值为0。 **1.3 行列式的展开** - **代数余子式**：对于行列式中的任意一个元素\( a_{ij} \)，去掉它所在的行和列后剩下的部分称为该元素的**余子式** \( M_{ij} \)，而\( A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \)称为该元素的**代数余子式**。 - **行列式的计算**：可以通过计算某一行（或列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和来求得整个行列式的值。 **1.4 克莱姆法则** - **非齐次线性方程组**：对于方程组\( Ax = b \)，如果系数行列式\( D \neq 0 \)，则该方程组有唯一解，且解的形式为\( x_j = \frac{D_j}{D} \)，其中\( D_j \)是通过用向量\( b \)替换原系数矩阵\( A \)的第\( j \)列所得到的新行列式的值。 - **齐次线性方程组**：对于齐次方程组\( Ax = 0 \)，如果系数行列式\( D \neq 0 \)，则该方程组仅有零解；反之，如果\( D = 0 \)，则方程组存在非零解。 **1.5 特殊行列式** - **转置行列式**：行列式与其转置行列式的值相同。 - **对称行列式**：如果行列式满足\( a_{ij} = a_{ji} \)，则称之为对称行列式。 - **反对称行列式**：如果行列式满足\( a_{ij} = -a_{ji} \)，则称之为反对称行列式。特别地，奇数阶反对称行列式的值为0。 - **三角形行列式**：如果行列式是一个上三角或下三角矩阵，则行列式的值等于对角线上所有元素的乘积。 - **三线性行列式**：这种类型的行列式可以通过一定的方法化简为三角形行列式进行计算。 **1.6 行列式计算技巧** - **化零法**：通过初等变换将行列式化简为含有较多零元素的行列式。 - **化三角形行列式法**：通过行（列）变换使得行列式成为上（下）三角形，进而方便计算。 - **降阶法**：利用行列式的性质逐步降低行列式的阶数。 - **归纳法**：适用于某些特定类型的行列式，通过数学归纳法证明行列式的值。 #### 第二章 矩阵 **2.1 矩阵概念** - **矩阵**：一个矩形数组，由行和列组成，记作\( A = [a_{ij}] \)。 - **零矩阵**：所有元素均为0的矩阵。 - **单位矩阵**：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的方阵。 - **对角矩阵**：除了主对角线上的元素外，其他元素均为0的方阵。 - **数量矩阵**：主对角线上的元素相等，其余元素为0的方阵。 - **上三角矩阵**：所有在主对角线下方的元素均为0的矩阵。 - **下三角矩阵**：所有在主对角线上方的元素均为0的矩阵。 - **对称矩阵**：满足\( A = A^T \)的矩阵。 - **反对称矩阵**：满足\( A = -A^T \)的矩阵。 - **阶梯型矩阵**：每一非零行的第一个非零元素（称为主元）所在列下方元素全为0。 **2.2 矩阵的运算** - **加法**：两个矩阵\( A \)和\( B \)的加法\( C = A + B \)，其中\( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \)。 - **数乘**：矩阵\( A \)与标量\( k \)的乘法\( B = kA \)，其中\( b_{ij} = ka_{ij} \)。 - **乘法**：矩阵\( A \)和\( B \)的乘法\( C = AB \)，其中\( c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \)。 - **转置**：矩阵\( A \)的转置\( A^T \)，其中\( (A^T)_{ij} = A_{ji} \)。 - **逆矩阵**：对于方阵\( A \)，如果存在一个方阵\( B \)，使得\( AB = BA = I \)，则\( B \)称为\( A \)的逆矩阵，记作\( A^{-1} \)。 **2.3 初等变换** - **类型**： - 交换两行（或列）的位置。 - 用非零标量\( k \)乘以某一行（或列）。 - 将某一行（或列）的\( k \)倍加到另一行（或列）。 - **初等矩阵**：单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵。 - **初等变换的效果**：初等变换不会改变矩阵的秩，也不会改变矩阵是否可逆。 **2.4 矩阵的秩** - **矩阵的秩**：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目。 - **满秩矩阵**：矩阵的秩等于它的行数或列数。 - **降秩矩阵**：矩阵的秩小于它的行数或列数。 - **求秩的方法**：通过行（列）初等变换将矩阵化简为阶梯型矩阵，然后计算非零行的数量。 **2.5 逆矩阵的性质** - 如果矩阵\( A \)可逆，则其逆矩阵\( A^{-1} \)是唯一的。 - 可逆矩阵\( A \)的逆矩阵\( A^{-1} \)也是可逆的，且\( (A^{-1})^{-1} = A \)。 - 数乘矩阵\( kA \)的逆矩阵为\( \frac{1}{k}A^{-1} \)。 - 转置矩阵\( A^T \)的逆矩阵为\( (A^{-1})^T \)。 以上是线性代数中关于行列式与矩阵的重要知识点，这些概念和性质是进一步学习线性代数的基础，掌握它们对于解决线性代数中的问题至关重要。