### 直线与圆的方程知识点解析
#### 一、单选题解析
1. **直线斜率的计算**
- **知识点**: 直线斜率公式：\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)。
- **解析**: 给定点A（2，-3），B（0，5）。将这些值代入斜率公式得 \(m = \frac{5 - (-3)}{0 - 2} = \frac{8}{-2} = -4\)。因此，正确答案为B。
2. **直线倾斜角的计算**
- **知识点**: 倾斜角θ与斜率m的关系：\(m = \tan θ\)。
- **解析**: 已知A（-1，3），B（1，5）。根据斜率公式，得到斜率为 \(m = \frac{5 - 3}{1 - (-1)} = 1\)。由于\(m = \tan θ = 1\)，可以得出θ = 45°。因此，正确答案为B。
3. **圆的方程**
- **知识点**: 圆的标准方程为\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
- **解析**: 给定直径端点A（1，2），B（1，6），圆心坐标为这两个点坐标的平均值，即\((\frac{1+1}{2}, \frac{2+6}{2}) = (1, 4)\)。半径为两个端点之间的距离的一半，即\(\frac{|6 - 2|}{2} = 2\)。所以，圆的方程为\((x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 4\)。因此，正确答案为B。
4. **两点间距离的计算**
- **知识点**: 两点间距离公式：\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)。
- **解析**: 已知P（-2，3），Q（1，x），两点间距离为5。将这些值代入距离公式，得到\(\sqrt{(1 - (-2))^2 + (x - 3)^2} = 5\)。简化后得到\((x - 3)^2 = 16\)，从而解得\(x = 7\)或\(x = -1\)。但由于选项中只有7，故正确答案为C。
5. **圆心坐标的确定**
- **知识点**: 圆的一般方程为\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)，圆心坐标为\((-D/2, -E/2)\)。
- **解析**: 方程为\(x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0\)，根据圆心坐标公式，得到圆心坐标为\((1, -3)\)。因此，正确答案为C。
6. **直线方程的求解**
- **知识点**: 直线斜率与倾斜角的关系以及直线点斜式方程：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)。
- **解析**: 倾斜角为60°，对应的斜率为\(\sqrt{3}\)。通过点A（-1，2），直线方程为\(y - 2 = \sqrt{3}(x + 1)\)，整理后得到具体形式。正确答案需根据选项确定，但关键在于理解和应用上述知识点。
#### 二、填空题解析
7. **两直线的位置关系**
- **知识点**: 平行、垂直或相交。
- **答案**: 两直线的位置关系可能是平行、垂直或相交。
8. **点到直线的距离**
- **知识点**: 点到直线的距离公式：\(d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)。
- **答案**: 点（1，3）到直线\(y = 2x + 3\)的距离为\(d = \frac{|-2 + 3 - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = 0\)。
9. **过三点的圆的方程**
- **知识点**: 过三点的圆的方程可以通过建立三个方程求解。
- **答案**: 方程需要通过具体计算给出，这里略去详细过程。
10. **平行直线的方程**
- **知识点**: 平行直线具有相同的斜率。
- **答案**: 方程为\(x + 3y + b = 0\)，通过点（1，2）求解b值得到具体方程。
11. **直线与圆的位置关系**
- **知识点**: 相离、相切或相交。
- **答案**: 直线与圆的位置关系可能是相离、相切或相交。
12. **圆的方程及参数范围**
- **知识点**: 圆的一般方程及其表示条件。
- **答案**: 为了使方程\(x^2 + y^2 - 3x + 4y + k = 0\)表示一个圆，需满足判别式条件\(D > 0\)，即\(9 + 16 - 4k > 0\)，解得\(k < \frac{25}{4}\)。
#### 三、解答题解析
13. **三角形面积的计算**
- **知识点**: 海伦公式或其他方法求三角形面积。
- **解析**: 需要计算三条边的长度，并利用海伦公式求面积。
14. **直线方程的求解**
- **知识点**: 两点式直线方程。
- **解析**: 通过点A（-1，3），B（0，2）确定直线方程。
15. **圆的方程**
- **知识点**: 圆与直线相切的条件，圆心位置确定等。
- **解析**: 根据题目条件逐步求解圆的方程，包括确定圆心位置和半径大小等。
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