一次函数是初中数学中的核心知识点，它在中考中占据着重要的地位。一次函数的基本形式是 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，x 是自变量，且 k ≠ 0。这个函数描述了两个变量之间的线性关系。
1. **一次函数的定义**：
一次函数是形如 y = kx + b 的函数，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。k 不等于零，确保了函数是一条直线而非常数。
2. **一次函数的图像**：
一次函数的图像是一条直线。如果 b = 0，即函数为 y = kx，那么这条直线将通过原点。如果 b ≠ 0，直线将在 y 轴上有一个交点，具体位置取决于 b 的正负。
3. **一次函数的性质**：
- 当 k > 0 时，直线穿过第一和第三象限，y 随着 x 的增大而增大。
- 当 k < 0 时，直线穿过第二和第四象限，y 随着 x 的增大而减小。
- b > 0 时，直线在 y 轴上的截距为正，即交于 y 轴的上方。
- b < 0 时，直线在 y 轴上的截距为负，即交于 y 轴的下方。
4. **待定系数法**：
用于确定一次函数解析式的通用方法是待定系数法，步骤如下：
- 建立方程模型，写出含待定系数的函数形式。
- 将已知的 x 和 y 的对应值代入方程，形成一个关于待定系数的方程组。
- 解方程组，求得待定系数的值。
- 将求得的系数代回函数关系式，得到具体的一次函数解析式。
5. **正比例函数**：
正比例函数是特殊的一次函数，形式为 y = kx，其中 k 是比例系数。它只包含一个变量 x 的幂，即 x 的一次幂，且没有常数项 b。
6. **正比例函数的性质**：
- 当 k > 0 时，正比例函数的图像穿过第一和第三象限。
- 当 k < 0 时，图像穿过第二和第四象限。
- 正比例函数的图像总是通过原点。
7. **正比例函数与一次函数的关系**：
一次函数 y = kx + b 可以看作是正比例函数 y = kx 平移得到的。平移的方向和距离取决于 b 的正负，b > 0 时向上平移，b < 0 时向下平移。
在中考中，这些概念经常出现在选择题、填空题和解答题中。例如，通过图象判断 k 和 b 的符号，利用待定系数法求解函数解析式，分析函数的增减性和图像特征等。解题时，需结合函数性质来分析图象，运用一元一次不等式的知识解决实际问题。
通过给出的例题，我们可以看到如何利用这些知识进行实际的解题。例如，题目中涉及到了一次函数图像经过的象限来判断 k 和 b 的符号，以及利用图象求解不等式的解集。还有，根据一次函数的平行关系和已知点坐标来求解函数解析式。
理解和掌握一次函数的概念、性质、图像以及它们在实际问题中的应用，对于解决中考数学问题至关重要。学生应熟练运用这些知识，通过做题和实践来加深理解。
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