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弹性力学优化算法：灵敏度分析在工程设计中的应用

1 弹性力学基础

1.1 1 弹性力学基本概念

弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布的学科。弹性体是指

在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复原状的物体。在工程设

计中，理解弹性力学的基本概念对于设计安全、高效和经济的结构至关重要。

1.1.1 弹性模量

1.1.3 应力-应变关系

在弹性范围内，应力与应变之间遵循胡克定律，即应力正比于应变，比例

常数即为弹性模量。

1.2 2 应力与应变分析

应力和应变是弹性力学中的两个核心概念，它们描述了材料在受力时的内

部反应。

1.2.1 应力

应力是单位面积上的内力，可以分为正应力（σ）和剪应力（τ）。正应力

是垂直于截面的应力，剪应力是平行于截面的应力。

1.2.2 应变

import numpy as np

#

创建一个示例的应力矩阵

stress = np.array([[100, 0, 0], #

正应力

σx

[0, 200, 0], #

[0, 0, 300]]) #

#

创建一个示例的应变矩阵

strain = np.array([[0.001, 0, 0], #

[0, 0.002, 0], #

线应变

εy

[0, 0, 0.003]]) #

线应变

εz

#

假设材料的弹性模量和泊松比

#

应力应变关系

stress_from_strain = np.dot(elastic_matrix, strain)

1.3 3 弹性方程与边界条件

1.3.1 弹性方程

弹性方程是描述弹性体内部应力和应变分布的微分方程，通常包括平衡方

程和胡克定律。

1.3.2 边界条件

边界条件是指在弹性体边界上施加的约束，包括位移边界条件和应力边界

条件。位移边界条件规定了边界上的位移，而应力边界条件规定了边界上的外

#

定义位移函数空间

V = VectorFunctionSpace(mesh, 'Lagrange', 1)

#

定义边界条件

def boundary(x, on_boundary):

return on_boundary

bc = DirichletBC(V, Constant((0, 0)), boundary)

#

定义材料参数

E = 200e9 #

弹性模量

泊松比

mu = E / (2 * (1 + ν))

#

定义变分问题

u = TrialFunction(V)

v = TestFunction(V)

a = inner(sigma(u), eps(v))*dx

L = inner(f, v)*dx

#

求解变分问题

u = Function(V)

solve(a == L, u, bc)

#

输出位移和应力

全性和可靠性。

2 优化算法概览

2.1 1 优化算法基础

优化算法是工程设计中不可或缺的工具，用于寻找系统性能的最佳解。在

弹性力学领域，优化算法帮助工程师在满足结构强度、稳定性和刚度要求的同

时，实现材料的最有效利用。优化算法的基础在于定义一个目标函数，该函数

量化了设计的性能，如结构的重量、成本或应力分布。算法通过调整设计参数，

逐步改进目标函数的值，直至找到最优解。

2.1.1 目标函数与约束条件

在优化问题中，目标函数（或成本函数）是需要最小化或最大化的量。例

逐步接近最优解。迭代过程持续进行，直到满足收敛准则。

2.2 2 常用优化算法介绍

2.2.1 2.1 线性规划

线性规划是一种优化技术，适用于目标函数和约束条件都是线性的情况。

它通过求解线性方程组，找到满足所有约束条件下的目标函数最优值。在工程

设计中，线性规划常用于资源分配问题。

from scipy.optimize import linprog

#

定义目标函数系数

c = [-1, 4]

#

定义变量的边界条件

x0_bounds = (None, None)

x1_bounds = (-3, None)

#

求解线性规划问题

res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=[x0_bounds, x1_bounds], met

hod='highs')

#

输出结果

print(res)

2.2.2 2.2 非线性规划

非线性规划处理目标函数或约束条件是非线性的情况。它使用更复杂的算

return x[0]**2 + x[1]**2

#

定义非线性约束条件

def constraint(x):

return x[0]**2 + x[1]**2 - 1