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弹性力学数值方法：迭代法：预条件技术在弹性力学迭代
法中的应用
1 弹性力学基础
1.1 弹性力学基本概念
在弹性力学中，我们研究的是物体在外力作用下如何发生变形，以及这种
变形如何影响物体的内部应力和应变。弹性力学的基本概念包括：
� 应力（Stress）：单位面积上的内力，通常用张量表示，分为正应
力和剪应力。
� 应变（Strain）：物体变形的程度，也是用张量表示，分为线应变
和剪应变。
� 弹性模量（Elastic Modulus）：描述材料弹性性质的物理量，包括
杨氏模量、剪切模量和泊松比。
1.1.1 示例
假设一个长方体材料，其长、宽、高分别为 10cm、5cm、2cm，受到一个
垂直于其上表面的力 F=100N。如果材料的杨氏模量 E=200GPa，泊松比ν=0.3，
我们可以计算材料的正应力和线应变。
σ
=
F
A
=
100
N
5
c
m
×
2
c
m
=
10
M
P
a
ϵ
=
σ
E
=
10
M
P
a
200
G
P
a
=
5
×
10
−
5
1.2 弹性方程与边界条件
弹性方程描述了应力、应变和位移之间的关系，通常包括平衡方程、本构
方程和几何方程。边界条件则指定了物体在边界上的位移或应力状态，分为：
� 位移边界条件（Displacement Boundary Conditions）：指定物体在
边界上的位移。
� 应力边界条件（Stress Boundary Conditions）：指定物体在边界上
的应力。
1.2.1 示例
考虑一个简单的弹性问题，一个两端固定的杆受到轴向拉力。设杆的长度
为 L，截面积为 A，轴向拉力为 F，材料的杨氏模量为 E。平衡方程可以简化为：
d
σ
d
x
=
0
位移边界条件为：
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