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弹性力学基础：边界条件：弹性体的混合边界条件
1 弹性力学概述
1.1 弹性力学的基本概念
弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和
应力分布。它基于连续介质力学的基本假设，即材料可以被视为连续的、无间
隙的介质，其内部的物理量（如应力、应变）可以连续变化。弹性力学的核心
是通过数学模型描述材料的弹性行为，这些模型包括弹性方程、几何方程和物
理方程，它们共同构成了弹性力学的基本方程组。
1.1.1 弹性方程
弹性方程描述了弹性体内部应力与外力之间的关系，是基于牛顿第二定律
推导而来的。在三维空间中，弹性方程可以表示为：
∇
⋅
σ
+
b
=
ρ
u
其中，
σ
是应力张量，
b
是体积力（如重力），
ρ
是材料密度，
u
是位移的二
阶时间导数。
1.1.2 几何方程
几何方程描述了位移与应变之间的关系，反映了材料变形的几何特性。在
小变形情况下，几何方程可以简化为：
ε
=
1
2
(
∇
u
+
(
∇
u
)
T
)
其中，
ε
是应变张量，
u
是位移向量。
1.1.3 物理方程
物理方程，也称为本构方程，描述了应力与应变之间的关系，反映了材料
的物理性质。对于线性弹性材料，物理方程可以表示为胡克定律：
σ
=
C
:
ε
其中，
C
是弹性张量，它包含了材料的弹性模量和泊松比等参数。
1.2 弹性体的应力与应变
1.2.1 应力
应力是单位面积上的内力，可以分为正应力和剪应力。正应力是垂直于截
面的应力，而剪应力是平行于截面的应力。在弹性力学中，应力通常用张量表
示，以全面描述材料在各个方向上的受力情况。
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