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弹性力学材料模型：正交各向异性材料的优化设计
1 弹性力学基础
1.1 1 弹性力学基本概念
弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布的学科。弹性体是指
在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复原状的物体。在弹性力
学中，我们关注的是物体的内部应力、应变以及位移，这些量可以通过弹性方
程来描述。
1.1.1 弹性体的分类
� 各向同性材料：材料的物理性质在所有方向上都相同，如钢、铝
等。
� 各向异性材料：材料的物理性质随方向而变化，可以进一步分为：
o 正交各向异性材料：材料的物理性质在三个相互垂直的方
向上不同，但在这三个方向上的任意平面内相同，如木材、复合
材料等。
1.1.2 弹性常数
对于正交各向异性材料，需要定义多个弹性常数来描述其弹性行为，包括：
- 弹性模量
E
1
、
E
2
、
E
3
，分别对应三个正交方向的弹性性质。 - 泊松比
ν
12
、
ν
13
、
ν
23
，描述材料在不同方向上的横向变形。 - 剪切模量
G
12
、
G
13
、
G
23
，描述材
料在剪切力作用下的变形。
1.2 2 应力与应变分析
1.2.1 应力
应力是单位面积上的内力，可以分为正应力和剪应力。在三维空间中，应
力可以用一个 3x3 的对称矩阵表示，称为应力张量。
1.2.2 应变
应变是物体在外力作用下变形的程度，可以分为线应变和剪应变。同样，
应变也可以用一个 3x3 的对称矩阵表示，称为应变张量。
1.2.3 应力应变关系
对于正交各向异性材料，应力应变关系可以通过胡克定律的广义形式来描
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