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弹性力学材料模型：粘弹性材料的动态力学分析教程

1 弹性力学基础

1.1 1 弹性力学基本概念

弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布的学科。弹性体是指

在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复原状的物体。在弹性力

学中，我们关注的是物体的内部应力、应变以及位移，这些量可以通过求解弹

性力学的基本方程得到。

� 均匀性：物体的物理性质在所有点上相同。

� 各向同性：物体的物理性质在所有方向上相同。

1.2 2 应力与应变关系

应力和应变是弹性力学中的两个基本概念，它们描述了物体在受力时的内

部反应。

1.2.1 应力

应力定义为单位面积上的内力，通常用符号σ表示。在三维空间中，应力

可以分为正应力（σ）和剪应力（τ）。

1.2.2 应变

应变是物体在受力时的变形程度，通常用符号ε表示。应变分为线应变和

其中，E 是弹性模量，表示材料抵抗变形的能力。

1.2.4 应力应变张量

在复杂加载条件下，应力和应变可以用张量来描述，包括正应力和剪应力

的各个分量。

1.3 3 弹性模量与泊松比

1.3.1 弹性模量

弹性模量是材料的一个重要物理属性，它描述了材料在弹性范围内抵抗变

形的能力。对于线弹性体，弹性模量 E 定义为：

泊松比反映了材料在受力时横向收缩的程度。

1.3.3 示例：计算弹性模量和泊松比

假设我们有一个材料样本，其长度为 100mm，宽度为 10mm，厚度为 5mm。

在施加 100N 的力后，样本的长度增加了 0.1mm，宽度减少了 0.05mm。我们可

以计算出该材料的弹性模量和泊松比。

delta_width = -0.05 # mm

stress = force / (width * thickness) # N/mm^2

strain = delta_length / length

elastic_modulus = stress / strain # N/mm^2

poisson_ratio = -delta_width / (width * strain)

力与应变的关系以及如何计算弹性模量和泊松比。这些知识是进一步研究粘弹

性材料动态力学分析的基础。

2 粘弹性材料特性

2.1 1 粘弹性材料定义

粘弹性材料，是一种在受力时表现出同时具有弹性与粘性特性的材料。与

纯弹性材料不同，粘弹性材料在加载和卸载过程中，应力与应变的关系不仅依

赖于外力的大小，还与时间有关。这种特性使得粘弹性材料在动态力学分析中

展现出复杂的响应行为，例如应力松弛、蠕变、滞后效应等。

2.2 2 粘弹性与温度关系

粘弹性材料的特性强烈依赖于温度。在较低温度下，材料表现出更接近弹

Maxwell 模型是最简单的粘弹性模型之一，由一个弹簧和一个粘壶串联组

成。在动态力学分析中，Maxwell 模型可以用来描述材料的应力松弛行为。假

设一个 Maxwell 模型在时间

的应力

from scipy.integrate import solve_ivp

import matplotlib.pyplot as plt

def maxwell(t, y, E, eta):

return [y[1], -E*y[0]/eta]

E = 1e6 #

eta = 1e3 #

t_span = (0, 10) #

y0 = [0.01, 0] #

plt.legend()

plt.show()

2.3.2 3.2 Kelvin-Voigt 模型

Kelvin-Voigt 模型由一个弹簧和一个粘壶并联组成，可以用来描述材料的蠕

变行为。在动态力学分析中，Kelvin-Voigt 模型的应力-应变关系为：

return [y[1], (1/E - 1/eta)*y[0]]

E = 1e6 #

eta = 1e3 #

t_span = (0, 10) #

y0 = [0.01, 0] #

sol = solve_ivp(kelvin_voigt, t_span, y0, args=(E, eta), t_eval=np.linspace(0, 10, 100))