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材料力学之动力学分析算法：谐响应分析：连续系统的谐
响应分析
1 绪论
1.1 谐响应分析的重要性
在材料力学领域，谐响应分析是动力学分析中的一个关键部分，它主要研
究系统在正弦波激励下的响应。这种分析对于理解结构在周期性载荷作用下的
行为至关重要，尤其是在设计和评估机械、土木和航空航天工程中的结构时。
通过谐响应分析，工程师可以预测结构的振动特性，包括频率响应、振幅和相
位，从而确保结构在实际工作条件下的安全性和稳定性。
1.2 连续系统与离散系统的区别
1.2.1 连续系统
连续系统是指在空间和时间上连续分布的系统，如梁、板、壳体等。在这
些系统中，物理量（如位移、应力和应变）可以在任何位置和时间上被定义。
连续系统的动力学分析通常涉及偏微分方程，这些方程描述了系统中物理量随
时间和空间的变化。例如，欧拉-伯努利梁方程是描述梁在横向载荷作用下弯曲
振动的连续系统动力学方程。
1.2.2 离散系统
离散系统则是将连续系统简化为有限数量的集中质量、刚度和阻尼的系统。
这种简化使得问题可以使用线性代数和微分方程的解法来处理，而不是偏微分
方程。在离散系统中，结构被分解为多个节点和元件，每个节点的位移和每个
元件的力都可以被独立计算。例如，使用有限元方法（FEM）可以将一个连续
的梁转化为离散系统，其中梁被分割成多个梁单元，每个单元的两端都有节点。
1.2.3 示例：连续梁的谐响应分析
假设我们有一个简支梁，长度为 L，受到正弦波横向载荷的作用。我们可
以通过求解欧拉-伯努利梁方程来分析其谐响应。
1.2.3.1 欧拉-伯努利梁方程
E
I
ρ
A
∂
4
w
∂
x
4
+
∂
2
w
∂
t
2
=
q
(
x
,
t
)
其中： -
w
是梁的横向位移。 -
E
是弹性模量。 -
I
是截面惯性矩。 -
ρ
是材
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