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材料力学之应力分析算法：边界元法（BEM）：BEM 的数
值实现
1 绪论
1.1 边界元法的简介
边界元法（Boundary Element Method, BEM）是一种数值方法，用于求解偏
微分方程，特别是在材料力学和工程领域中，它被广泛应用于应力分析。与有
限元法（FEM）不同，BEM 主要关注问题的边界条件，将整个域的积分转化为
边界上的积分，从而减少了问题的维数，使得计算更加高效。
1.1.1 原理
边界元法基于格林定理，将问题域内的积分方程转化为边界上的积分方程。
对于弹性力学问题，BEM 利用弹性体的位移和应力之间的关系，通过在边界上
应用这些关系，可以将内部的应力和位移分布问题转化为边界上的未知量问题。
这种方法特别适用于处理无限域或半无限域问题，以及具有复杂边界条件的问
题。
1.1.2 内容
边界元法的内容主要包括以下几个方面：
� 格林函数的构建：格林函数是 BEM 的核心，它描述了在边界上施
加单位力时，整个域内的位移响应。
� 边界积分方程的建立：通过格林函数和边界条件，建立边界积分
方程，这是 BEM 求解问题的基础。
� 边界离散化：将连续的边界离散化为一系列的单元，每个单元上
的未知量通过数值方法求解。
� 数值求解：使用数值积分技术，如高斯积分，来求解边界积分方
程，得到边界上的未知量。
� 后处理：通过边界上的未知量，利用格林函数反推域内的应力和
位移分布。
1.2 BEM 与有限元法的比较
边界元法与有限元法在求解材料力学问题时，各有优势和局限性。以下是
一些主要的比较点：
� 问题域的处理：BEM 仅需要处理边界，而 FEM 需要处理整个域。
因此，BEM 在处理无限域或半无限域问题时更为有效。
� 计算效率：由于 BEM 减少了问题的维数，它在处理大型问题时通
常比 FEM 更高效。但是，BEM 的矩阵通常是满的，而 FEM 的矩阵是稀
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