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人工智能和机器学习之回归算法:随机森林回归的数学基
础
1 随机森林回归简介
1.1 1 什么是随机森林回归
随机森林回归是一种集成学习方法,它通过构建多个决策树并综合它们的
预测结果来提高预测的准确性和稳定性。每个决策树都是在数据集的不同子集
上训练的,这些子集是通过有放回的抽样(自助抽样)从原始数据集中获得的。
此外,每个决策树在每个节点上选择的特征也是随机的,这增加了模型的多样
性,从而提高了整体的预测性能。
1.1.1 原理
随机森林回归的工作原理可以概括为以下步骤:
1. 自助抽样(Bootstrap Sampling):从原始数据集中随机抽取样本,
形成多个不同的训练集,每个训练集的大小与原始数据集相同,但样本
可能重复。
2. 构建决策树:在每个训练集上独立地构建决策树。在决策树的每
个节点,从所有特征中随机选择一部分特征,然后使用这些特征来分裂
节点,以减少过拟合的风险。
3. 预测:对于新的输入数据,将其通过所有决策树进行预测,然后
取所有决策树预测结果的平均值作为最终的预测结果。
1.1.2 代码示例
假设我们使用 Python 的 scikit-learn 库来实现随机森林回归。以下是一个简
单的示例,使用随机森林回归模型来预测波士顿房价数据集中的房价。
#
导入必要的库
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error
#
加载波士顿房价数据集
boston = load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
#
划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
2
#
创建随机森林回归模型
rf = RandomForestRegressor(n_estimators=100, random_state=42)
#
训练模型
rf.fit(X_train, y_train)
#
预测
y_pred = rf.predict(X_test)
#
计算均方误差
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f"Mean Squared Error: {mse}")
在这个例子中,我们首先加载了波士顿房价数据集,然后将其划分为训练
集和测试集。接着,我们创建了一个随机森林回归模型,其中 n_estimators 参
数指定了要构建的决策树的数量。模型训练完成后,我们使用测试集进行预测,
并计算预测结果与实际结果之间的均方误差(MSE)。
1.2 2 随机森林回归的应用场景
随机森林回归适用于多种场景,特别是在以下情况下:
� 特征选择:随机森林可以评估特征的重要性,帮助识别哪些特征
对预测结果影响最大。
� 高维数据:随机森林可以处理具有大量特征的数据集,即使某些
特征是无关的或冗余的。
� 非线性关系:随机森林能够捕捉数据中的非线性关系,适用于那
些线性模型无法有效处理的情况。
� 异常值和缺失值:随机森林对异常值和缺失值具有较强的鲁棒性,
可以在不进行预处理的情况下处理这些数据。
1.2.1 示例描述
在上述代码示例中,随机森林回归被用于预测波士顿房价。波士顿房价数
据集包含 13 个特征,如犯罪率、住宅的平均房间数、城镇的可接近性等,这些
特征与房价之间存在复杂的关系。随机森林回归能够有效地处理这些特征,即
使它们之间存在非线性关系或某些特征对房价的影响较小。
此外,随机森林回归还可以用于特征选择。通过调用模型的
feature_importances_属性,我们可以获取每个特征的重要性分数,从而识别出
哪些特征对预测房价最为关键。这在实际应用中非常有用,可以帮助我们减少
模型的复杂性,提高预测效率。
总之,随机森林回归是一种强大的机器学习算法,适用于处理具有复杂特
征关系和高维数据的回归问题。通过构建多个决策树并综合它们的预测结果,
随机森林回归能够提供更准确、更稳定的预测,同时还能进行特征选择,提高
模型的解释性。
3
2 决策树基础
2.1 1 决策树的构建过程
决策树是一种监督学习算法,用于分类和回归任务。构建决策树的过程主
要包括选择最佳特征进行分裂、递归构建子树,直到满足停止条件。
2.1.1 选择最佳特征
在构建决策树时,算法需要从当前数据集的特征中选择一个最佳特征进行
分裂。选择最佳特征的标准通常基于信息增益、基尼不纯度或均方误差(MSE)
等。例如,在回归任务中,我们通常使用 MSE 作为分裂准则。
2.1.2 递归构建子树
一旦选择了最佳特征,数据集将根据该特征的不同值被分裂成子集。然后,
对每个子集重复上述过程,选择最佳特征进行进一步分裂,直到满足停止条件。
2.1.3 停止条件
停止条件可以是树达到最大深度、子节点中的样本数小于预设阈值、所有
特征的信息增益或不纯度降低小于预设阈值等。
2.1.4 示例代码
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error
#
加载数据
boston = load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
#
划分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)
#
创建决策树回归器
regressor = DecisionTreeRegressor(random_state=42)
#
训练模型
regressor.fit(X_train, y_train)
4
#
预测
y_pred = regressor.predict(X_test)
#
计算
MSE
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f'Mean Squared Error: {mse}')
2.2 2 决策树的分裂准则
分裂准则是决策树算法中用于确定最佳特征和分裂点的关键。在回归任务
中,常见的分裂准则有:
2.2.1 均方误差(MSE)
MSE 是最常用的回归树分裂准则,它计算分裂前后子节点预测值的平方误
差的期望值之差。
2.2.2 均方误差减少(MSE Reduction)
这是 MSE 的一种变体,它考虑了分裂前后 MSE 的减少量,用于评估分裂
的效益。
2.2.3 示例代码
在 sklearn 中,可以通过设置 criterion 参数来选择分裂准则。默认情况下,
回归树使用 MSE 作为分裂准则。
#
使用
MSE
作为分裂准则
regressor = DecisionTreeRegressor(criterion='mse', random_state=42)
#
使用
MSE
减少作为分裂准则
regressor = DecisionTreeRegressor(criterion='friedman_mse', random_state=42)
2.3 3 决策树的剪枝技术
剪枝技术用于减少决策树的复杂度,防止过拟合。剪枝可以分为预剪枝和
后剪枝。
2.3.1 预剪枝
预剪枝在构建决策树的过程中进行,通过设置最大深度、最小样本数等参
数来限制树的生长。
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