机器学习是现代人工智能的核心组成部分，它使得计算机系统能够通过数据学习和改进，而无需显式编程。数学在机器学习中扮演着至关重要的角色，因为它是理解算法背后的理论基础和优化过程的关键。本讲座主要涵盖了机器学习的数学基础，特别是线性回归和逻辑回归这两种基本的预测模型。
我们来探讨线性回归。线性回归是一种预测性建模技术，用于研究两个或多个变量之间的关系，尤其是连续变量之间的关系。在最简单的形式中，线性回归假设因变量（目标变量）与一个或多个自变量（输入变量）之间存在线性关系。线性回归模型通常用一条直线表示，即y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a是斜率，b是截距。在多元线性回归中，可能会涉及多个自变量，模型则变为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中βs是对应的系数。线性回归的训练目标是找到最佳的系数向量，使得模型对数据的预测误差最小，这通常通过最小二乘法或者梯度下降法实现。
接下来，我们转向逻辑回归，尽管名字中含有“回归”，但它实际上是一种分类算法。逻辑回归用于处理二分类问题，即将观测数据分配到两个类别之一。逻辑回归通过将线性回归的输出通过Sigmoid函数进行非线性变换，将其映射到(0,1)区间，这个概率值表示属于某一类的概率。Sigmoid函数可以表示为f(x) = 1 / (1 + e^-x)，它将任意实数值转换为0和1之间的一个概率。逻辑回归的目标是找到最佳的系数，使得预测概率与真实类别最为接近。优化方法通常是最大似然估计，通过梯度上升或梯度下降算法求解。
在Python中实现这些算法，我们可以利用科学计算库如NumPy和SciPy，以及专门用于机器学习的库如Scikit-learn。NumPy提供了高效的数组操作和矩阵运算，而SciPy提供了优化工具，如最小化函数。Scikit-learn库则封装了各种机器学习算法，包括线性回归和逻辑回归，提供了一套统一的接口，简化了模型训练和评估的过程。
在实际应用中，我们还需要了解如何预处理数据，包括特征缩放、缺失值处理、编码类别变量等。此外，模型评估也很重要，常用的方法有交叉验证、ROC曲线、AUC指标等。对于模型的选择和优化，可以使用网格搜索、随机搜索等调参技术，寻找最佳的超参数组合。
理解机器学习的数学基础，尤其是线性回归和逻辑回归，是进入机器学习领域的关键步骤。通过Python这样的编程语言，我们可以将这些理论知识转化为实用的代码，解决实际问题。学习并掌握这些基础知识，将为后续更复杂的算法如支持向量机、决策树、神经网络等打下坚实的基础。
