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卡尔曼滤波器介绍

Greg Welch

and Gary Bishop

TR 95-041

Department of Computer Science

University of North Carolina at Chapel Hill

Chapel Hill, NC 27599-3175

翻译：姚旭晨

更新日期: 2006年7月24日，星期一

中文版更新日期：2007年1月8日，星期一

摘要

1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波

问题的论文。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器

已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。

卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述。它们提供了一种高效可

计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。卡尔曼滤波

器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能

估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。

这篇文章介绍了离散卡尔曼理论和实用方法，包括卡尔曼滤波器及

其衍生：扩展卡尔曼滤波器的描述和讨论，并给出了一个相对简单的

带图实例。

welch@cs.unc.edu, http://www.cs.unc.edu/˜welch

gb@cs.unc.edu, http://www.cs.unc.edu/˜gb

北卡罗来纳大学教堂山分校，译者注。

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 2

1 离散卡尔曼滤波器

1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问

题的论文 [Kalman60] 。从那以后，得益于数字计算技术的进步，

卡尔曼

滤波器

已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。

[Maybeck79] 的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以

参考 [Sorenson70] ，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。更广泛的参

考包括 [Gelb74, Grewal93, Maybeck79, Lewis86, Brown92, Jacobs93] 。

被估计的过程信号

卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量 x ∈ <

。这个离散时

间过程由以下离散随机差分方程描述：

= Ax

k−1

+ Bu

k−1

+ w

k−1

, (1.1)

定义观测变量 z ∈ <

，得到量测方程：

= Hx

+ v

. (1.2)

随机信号 w

和 v

分别表示过程激励噪声

和观测噪声。假设它们为相

互独立，正态分布的白色噪声：

p(w) ∼ N(0, Q), (1.3)

p(v) ∼ N (0, R). (1.4)

实际系统中，

过程激励噪声协方差矩阵

Q 和

观测噪声协方差矩阵

R 可

能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。

当控制函数u

k−1

或过程激励噪声 w

k−1

为零时，差分方程1.1中的 n × n

阶增益矩阵 A 将上一时刻 k − 1 的状态线性映射到当前时刻 k 的状态。实际

中 A 可能随时间变化，但在这儿假设为常数。n × l 阶矩阵 B 代表可选的控

制输入 u ∈ <

的增益。量测方程1.2中的 m × n 阶矩阵 H 表示状态变量 x

对测量变量 z

的增益。实际中 H 可能随时间变化，但在这儿假设为常数。

滤波器的计算原型

定义 ˆx

−

∈ <

（

−

代表先验，ˆ代表估计）为在已知第 k 步以前状态情

况下第 k 步的

先验

状态估计。定义 ˆx

∈ <

为已知测量变量 z

时第 k 步的

后验

状态估计。由此定义

先验

估计误差和

后验

估计误差：

−

≡ x

− ˆx

−

≡ x

− ˆx

原文为 process noise，本该翻译作过程噪声，由时间序列信号模型的观点，平稳随机序

列可以看成是由典型噪声源激励线性系统产生，故译作过程激励噪声。

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 3

先验

估计误差的协方差为：

−

= E[e

−

], (1.5)

后验

估计误差的协方差为：

= E[e

], (1.6)

式1.7构造了卡尔曼滤波器的表达式：

先验

估计 ˆx

−

和加权的测量变量

及其预测 H ˆx

−

之差的线性组合构成了

后验

状态估计 ˆx

。式1.7的理论解

释请参看“滤波器的概率原型”一节。

ˆx

= ˆx

−

+ K(z

− H ˆx

−

) (1.7)

式1.7中测量变量及其预测之差 (z

− H ˆx

−

) 被称为测量过程的

革新

或

残

余

。残余反映了预测值和实际值之间的不一致程度。残余为零表明二者完

全吻合。

式1.7中 n × m 阶矩阵 K 叫做残余的

增益

或

混合因数

，作用是使1.6式

中的

后验

估计误差协方差最小。可以通过以下步骤计算 K ：首先将1.7式

代入 e

的定义式，再将 e

代入1.6式中，求得期望后，将1.6式中的 P

对

K 求导。并使一阶导数为零从而解得 K 值。详细推导清参照 [Maybeck79,

Brown92, Jacobs93] 。 K 的一种表示形式为：

= P

−

(HP

−

+ R)

−1

−

+ R

. (1.8)

由1.8式可知，观测噪声协方差 R 越小，残余的增益越大 K 越大。特别

地， R 趋向于零时，有：

lim

→0

= H

−1

另一方面，

先验

估计误差协方差 P

−

越小，残余的增益 K 越小。特别

地， P

−

趋向于零时，有：

lim

−

→0

= 0.

增益 K 的另一种解释是随着测量噪声协方差 R 趋于零，测量变量 z

的权重越来越大，而 z

的预测 H ˆx

−

的权重越来越小。另一方面，随着

先

验

估计误差协方差 P

−

趋于零，测量变量 z

的权重越来越小，而 z

的预测

H ˆx

−

的权重越来越大。

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 4

滤波器的概率原型解释

1.7式的解释来源于贝叶斯规则： ˆx

的更新取决于在已知先前的测量变

量 z

的情况下 x

的先验估计 ˆx

−

的概率分布。卡尔曼滤波器表达式中包含

了状态分布的前二阶矩。

E[x

] = ˆx

E[(x

− ˆx

)(x

− ˆx

)

] = P

后验

状态估计1.7式反应了状态分布的均值（一阶矩）——如果条件

式1.3和1.4成立，均值的估计便是正态分布的。

后验

估计误差协方差1.6式反

映了状态分布的方差（二阶非中心矩）。在已知 z

的情况下， x

的分布可

写为：

p(x

) ∼ N(E[x

], E[(x

− ˆx

)(x

− ˆx

)

])

= N (ˆx

, P

有关卡尔曼滤波器的概率原型的更多讨论，请参考 [Maybeck79,

Brown92, Jacobs93]。

离散卡尔曼滤波器算法

我们先给出卡尔曼滤波器的总体性概述，然后讨论方程式的具体细节

及其作用。

卡尔曼滤波器用反馈控制的方法估计过程状态：滤波器估计过程某一

时刻的状态，然后以（含噪声的）测量变量的方式获得反馈。因此卡尔曼

滤波器可分为两个部分：

时间更新

方程和

测量更新

方程。时间更新方程负

责及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值，以便为下一个时间

状态构造

先验

估计。测量更新方程负责反馈——也就是说，它将

先验

估计

和新的测量变量结合以构造改进的

后验

估计。

时间更新方程也可视为

预估

方程，测量更新方程可视为

校正

方程。最

后的估计算法成为一种具有数值解的

预估－校正

算法，如图1-1所示。

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

Welch & Bishop,卡尔曼滤波器介绍 5

图 1-1: 离散卡尔曼滤波器循环更新图。

时间更新

方程将当前状态变量作为

先验估计及时地向前投射到测量更新方程，

测量更新

方程校正先验估计以

获得状态的后验估计。

表1-1和表1-2分别给出了时间更新方程和测量更新方程的具体形式。

表 1-1: 离散卡尔曼滤波器时间更新方程

ˆx

−

= Aˆx

k−1

+ Bu

k−1

(1.9)

−

= AP

k−1

+ Q (1.10)

请再次注意表1-1中的时间更新方程怎样将状态估计 x

−

和协方差估计

−

从 k − 1 时刻向前推算到 k 时刻。 A 和 B 来自式1.1， Q 来自式1.3，滤

波器的初始条件在早先的引用中讨论过。

表 1-2: 离散卡尔曼滤波器状态更新方程

= P

−

(HP

−

+ R)

−1

(1.11)

ˆx

= ˆx

−

+ K

− H ˆx

−

) (1.12)

= (I − K

H)P

−

(1.13)

测量更新方程首先做的是计算卡尔曼增益 K

。注意1.11式和1.8式是相

同的。其次便测量输出以获得 z

，然后按1.12式（与1.7式相同）产生状态

的

后验

估计。最后按1.13式估计状态的

后验

协方差。

计算完时间更新方程和测量更新方程，整个过程再次重复。上一次计

UNC-Chapel Hill, TR 95-041, July 24, 2006

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