混合理想气体分子相对速率的计算
混合理想气体处于温度为 T 的平衡态，其中任意两个质量分别为 m1 和 m2 的分子之间
的相对速度定义为 u=v1-v2,式中 v1 和 v2 分别是 m1 和 m2 的速度。现来求相对速率的方均
根值和平均值，即求
2
u
和
u
。
考虑质量为 m1、m2，速度为 v1、v2 的两个分子组成的系统。系统的折合质量μ和质
心速度 V 为
μ=
1 2
1 2
m m
m m+
（1）
V=
1 1 2 2
1 2
m v m v
m m
+
+
（2）
两分子之间的相对速度 u 为
u=v1-v2 （3）
显然，系统的动能等于两分子的动能之和，也等于质心的动能
k
E
（C）和两分子相对质心的
动能
k
E
（i）之和，即
2 2
1 1
1 1 2 2
2 2
m v m v+ =
k
E
（C）+
k
E
（i）
因
k
E
（C）=
2
1
( 1 2)
2
m m V+
k
E
（i）=
2 2
1 1
1( 1 ) 2( 2 )
2 2
m v V m v V- + -
联系（1）、（2）、（3）式，化简得
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 2 2 ( 1 2)
2 2 2 2
m v m v m m V u
m
+ = + +
（4）
（2）、（3）、（4）给出了 v1、v2 与 u、V 的关系。
一、计算
2
u
。
由（3）式，得
2 2 2 2
( 1 2) 1 2 1 2 2u u u v v v v v v= × = - = - × +
因 v1 与 v2 彼此独立，且各自的平均值为零（
1 0, 2 0v v= =
），故
1 2 0v v× =
，又 v1 与 v2
遵循各自的麦克斯韦分布，故
2 2
3 3
1 , 2
1 2
kT kT
v v
m m
= =
，代入上式，得
2
u
=
3
1
kT
m
+
3
2
kT
m
=
3kT
m
即
2
u
=
3kT
m
（5）
