P01: 01 背包问题
题目：
有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物
品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即 f[i][v]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的最大价
值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要
将它详细解释一下：“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题，若只考虑第 i 件
物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物品的问题。如果不放第 i
件物品，那么问题就转化为“前 i-1 件物品放入容量为 v 的背包中”；如果放第 i 件物品，那
么问题就转化为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值
就是 f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 w[i]。
注意 f[i][v]有意义当且仅当存在一个前 i 件物品的子集，其费用总和为 v。所以按照这个方
程递推完毕后，最终的答案并不一定是 f[N][V]，而是 f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定
义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项 f[i][v-1]，这样就可以保证 f[N][V]就是
最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为 O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空
间复杂度却可以优化到 O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i=1..N，每次算出来二维数组
f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组 f[0..V]，能不能保证第 i 次循环结束后 f[v]中
表示的就是我们定义的状态 f[i][v]呢？f[i][v]是由 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而
来，能否保证在推 f[i][v]时（也即在第 i 次主循环中推 f[v]时）能够得到 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]
的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以 v=V..0 的顺序推 f[v]，这样才能保证推 f[v]
时 f[v-c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其 中 的 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]} 一 句 恰 就 相 当 于 我 们 的 转 移 方 程
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的 f[v-c[i]]就相当于原来的 f[i-1][v-c[i]]。如果将
v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了 f[i][v]由 f[i][v-c[i]]推知，与本题意不
符，但它却是另一个重要的背包问题 P02 最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解 01 背
包问题是十分必要的。
