谱估计基础及仿真分析
0 引言 现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关
系式来描述,但可以利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率
谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估
计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如
在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统
辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研
究等许多领域,发挥了重要作用。
一 相关的数学基础
1.1 概率论:
1.1.1 多维高斯分布
高斯分布公式:
2
2
( )
2
1
( )
2
x
p x e
m
s
ps
-
-
=
(1)
3
s
准则为:
( , )
s s
-
内 68.26%;
2
s
:95.44%;
3
s
:99.74%。
向量的形式的公式为:
1 1
/ 2 1/ 2
1 1
( ) exp[ ( ) ( )]
(2 ) | | 2
T
x xx x
N
xx
p x x C x
C
m m
p
- -
= - - -
v v v v v
(2)
其中 ;
[ ] {[ [ ]][ [ ]]}
xx ij i i j j
C E x E x x E x= - -
(3)
1.1.2 mont-carlo 仿真
1
ln , (0,1)y u u
l
= - Î
为指数分布,
2ln
x
y u
s
= -
瑞利分布,还有正交的高斯分布等。
1.2 随即过程
平稳随即过程:多维联合概率密度和时间起点无关,狭义的平稳。
数字特征:
( ) [ ( )]t E x t
m
=
相关函数:
1 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )]
xx
r t t E x t x t=
(4)
协方差:
1 2 1 1 2 2
( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]}
xx x x
C t t E x t t x t t
m m
= - -
(5)
广义的平稳:
1 2 2 1
( , ) ( ) ( )
xx xx xx
r t t r t t r
t
= - =
,
1 2
( , ) ( )
xx xx
C t t C
t
=
(6)
各态历经性:时间平均代替集平均。
平稳的功率谱:维纳-辛钦定理
( ) ( )
j
xx xx
P r e d
wt
w t t
¥
-
-¥
=
ò
(7)
1
( ) ( )
2
j
xx xx
r P e d
wt
t w w
p
¥
-¥
=
ò
(8)
能量有限;有限不连续点等条件才能傅立叶变换成立。
下面给出几种随即过程:
[( )( ) ]
T
xx x x
C E x x
m m
= - -
v v v v