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1.1. 增量理论常刚度法公式推导

由应力应变关系得：

ddd }{}{}{

��

(4-8)

)}{}{(][}{

ddDd

��

(4-9)

其中

[ ]

是弹性矩阵，它的表达式为

1 1

(1 )

1 2

0 0 0

(1 )(1 2 )

2(1 )

1 2

0 0 0 0

2(1 )

1 2

0 0 0 0 0

2(1 )

m m

é ù

ê ú

- -

ê ú

+ -

ê ú

ë û

对

称

d }{

�

是塑性应变增量，它的表达式为

}{

�

��

�

其中

为等效塑性应变增量，它的表达式为

{ } [ ]

{ }

{ } [ ]

{ } { }

d d

H D

e e

s s

¶ ¶

{ }

' ' ' ' ' '

3 3

[ ] [ ] [ , , , 2 , 2 , 2 ] [ , , , , , ]

T T

e e x y z xy yz zx x y z xy yz zx

D D

s s s t t t s s s t t t

s s s

= =

{ } { }

([ ] ) [ ]

e e

D D

s s

ì ü

¶ ¶

ï ï

í ý

¶ ¶

ï ï

î þ

为切线模量

对于 3 维空间问题，流动方向：

' ' ' ' ' '

[ , , , 2 , 2 , 2 ]

{ } 2

x y z xy yz zx

s s s t t t

s s

等效应力

2 2 2

{[( ) ( ) ( ) ]}

x y y z z x

s s s s s s s

= - + - + -

应力偏量

( ) / 3

x x x y z

y y x y z

z z x y z

xy xy

yz yz

zx zx

s s s s s

t t

= - + +

1.2. 增量理论切线刚度法公式推导

本文采用的是一种切线刚度法，其应力应变关系为

ddd }{}{}{

��

)}{}{(][}{

ddDd

��

(4-11)

3-14 两端左右同乘

{ }

，得到：

{ } { } { } [ ] ( { } { } )

{ } { }

T T

e p

d D d d

s s

s e e

s s

¶ ¶

= -

¶ ¶

对于强化材料，Mises 准则

{ } { }

{ }

d d H d

s s e

= =

代入可得

{ } [ ] { } [ ]

{ } { } { }

T T

p e e p

H d D d D d

s s s

e e e

s s s

¶ ¶ ¶

= -

¶ ¶ ¶

其中，

为等效塑性应变增量，它的表达式为

{ } [ ]

{ }

{ } [ ]

{ } { }

d d

H D

e e

s s

¶ ¶

由于：

{ }

' ' ' ' ' '

3 3

[ ] [ ] [ , , , 2 , 2 , 2 ] [ , , , , , ]

T T

e e x y z xy yz zx x y z xy yz zx

D D

s s s t t t s s s t t t

s s s

= =

{ } { }

([ ] ) [ ]

e e

D D

s s

ì ü

¶ ¶

ï ï

í ý

¶ ¶

ï ï

î þ

由流动法则可知

}{

�

��

�

应用上式得

[ ] { } [ ]

{ } { }

{ } [ ] { }

{ } [ ]

{ } { }

e e

D D

d D d

H D

s s

s e

s s

¶ ¶

é ù

ê ú

¶ ¶

= -

ê ú

¶ ¶

ê ú

¶ ¶

ë û

所以得到

{ } [ ] { }

d D d

s e

(4-12)

这就是切线刚度法的矩阵表达式

其中

D][

为弹塑性矩阵，在 ABAQUS 里面称为雅可比矩阵，它的表达式为

[ ] [ ] [ ]

ep e p

D D D= -

其中

[ ]

是弹性矩阵，它的表达式为

1 1

(1 )

1 2

0 0 0

(1 )(1 2 )

2(1 )

1 2

0 0 0 0

2(1 )

1 2

0 0 0 0 0

2(1 )

m m

é ù

ê ú

- -

ê ú

+ -

ê ú

ë û

对

称

为塑性矩阵，它的表达式为

[ ] { } [ ]

{ } { }

[ ]

{ } [ ]

{ } { }

e e

D D

H D

s s

¶ ¶

对于 3 维空间问题

流动方向

' ' ' ' ' '

[ , , , 2 , 2 , 2 ]

{ } 2

x y z xy yz zx

s s s t t t

s s

所以

' ' '2

' ' ' ' '2

' ' ' ' ' ' '2

' 2

' ' ' ' ' ' ' ' '2

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '2

[ ]

( 3 )

x y y

x y y z z

x xy y xy z xy xy

x yz y yz z yz xy yz yz

x zx y zx z zx xy zx yz zx zx

H G

s s s

s s s s s

s t s t s t t

s t s t s t t t t

s t s t s t t t t t t

é ù

ê ú

ë û

对

称

最后推导可得，弹塑性矩阵的表达式

' '2

' ' ' '2

' ' ' ' ' ' '2

' ' ' ' ' ' ' ' '2

' ' ' ' ' '

1 2

1 2 1 2

1 1

1 2 1 2 1 2

[ ]

x y y

x z y z z

z xy y xy z xy xy

z yz y yz z yz xy yz yz

z zx y zx z zx

m m

ws s ws

m m

m m m

ws s ws s ws

m m m

ws t ws t ws t wt

ws t ws t ws t wt t wt

ws t ws t ws t

- -

- - -

- - - -

- - - - -

- - - -

对

称

' ' ' ' '2

xy zx xy zx zx

wt t wt t wt

é ù

ê ú

- -

ë û

其中

2 '

2 ( 3 )

H G

2(1 )

为切线模量，对本构关系求导得到

总结推导过程：上面的推导过程看似复杂，其实核心的问题只有一个，即两者对

于塑性阶段应力更新的算法不同。

常刚度法采用的是：

)}{}{(][}{

ddDd

��

而切线刚度法采用的是：

{ } [ ] { }

d D d

s e

把握好了两者的本质上的区别，对于两者的算法设计和程序开发问题便迎刃而解

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周楷雯

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