动态规划经典教程
引言：本人在做过一些题目后对 DP 有些感想，就写了这个总结：
第一节 动态规划基本概念
一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：
如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是
工件当前的形态，决策就是对工件的操作。显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个
的小结构成了最终的整个生产线。每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生
的）。
下面举个例子：
要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后
的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的
状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变
成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是
状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：
用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，
状态转移的代价就是边上的权。这样就形成了一个有向无环图 AOE 网（为什么无环呢？往下看）。对这个
图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为 0 的状态在同一阶段。这样对图求最优路径就是动态规划
问题的求解。
二，动态规划的适用范围
动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？
一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：
最优子结构（最优化原理）
无后效性
最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；
什么是无后效性呢？
就是说在状态 i 求解时用到状态 j 而状态 j 就解有用到状态 k…..状态 N。
而求状态 N 时有用到了状态 i 这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用
图论理解动态规划中形成的图无环的原因。
也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。。。
当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。
三，动态规划解决问题的一般思路。
拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑
搜索或贪心了。当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：
（1）模型匹配法：
最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接
套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。
这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。
（2）三要素法
仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同：
先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告）
先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。
先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告）
一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。
（3）寻找规律法：
这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。
（4）边界条件法
找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。
（5）放宽约束和增加约束
这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的
清晰。
第二节 动态规划分类讨论
