ТУ ВАРНА
Факултет по електроника
Катедра “Електронна техника и микроелектроника”
Изследване на
цифрови филтри с
Matlab
Съставил: Георги Руменов Павлов, IV курс, II група, специалност Е,
факултетен №: 065203
Дата:
12.05.2010
Проектирането и прилагането на цифрови филтри е сред основните
направления в една от най-новите области на електрониката – Цифрова
Обработка на Сигнали. Цифровите филтри могат да бъдат изпълнени със
стандартни съвременни микропроцесорни системи, използващи процесори
с Фон-Нойманова архитектура. В този случай обикновено една малка част
от ресурсите на микропроцесорната система се използват за
осъществяването на обработката на сигналите. Друго хардуерно решение
за прилагане на цифрова обработка на сигнали(Digital Signal Processing –
DSP) е използването на специализирани системи, предназначени
единствено за прилагане на DSP, използващи т.н. наречените DSP
процесори с Харвардска архитектура, или специализираните SHARC(Super
Harvard ARChitecture) процесори(сериите ADSP-2106x и ADSP-211xx на
Analog Devices). Главното преимущество на DSP процесорите е, че
осигуряват възможност за изключително бърза обработка на множество
входни сигнали дори и при използване на сложни алгоритми. Цифровата
обработка на сигнали разширява възможностите на електронните
устройства и системи, използвани като инструменти в широк спектър от
други научни и технически направления. Например в медицината при
проектиране на пациентни монитори, компютърни томографски
устройства и устройства за ядрено-магнитен резонанс. Също така в
радарната техника, спътниковата техника, цифрова обработка на
изображеноя, GPS устройствата, CD плеъри, GSM апарати и др.
Процесът на филтриране на сигнали може да се представи математически
по два начина.
При първият се използва импулсната характеристика на филтъра, който
желаем да приложим. Импулсната характеристика на филтър, представлява
реакцията на изхода на му, ако на входа е подаден делта(единичен)
импулс(наречен още фунция на Дирак). Функцията на Дирак представлява
теоретично измпулс с продължителност, клоняща към 0 и амплитуда,
клоняща към безкрайност, който съдържа безброй много хармонични
съставки.След преминаването на единичния импулс през филтъра в него
остават само онези честотни съставки, които ние желаем да бъдат
прпуснати от филтъра. Реално за да можем да получим импулсната
характеристика на желания от нас филтър входният импулс трябва да има
продължителност, най-малко два пъти, по-голяма от продължителността на
компонента с най-висока честота от спектъра на сигнала, който желаем да
филтрираме. Нека представим импулсната характеристика на желания
филтър и входното му въздействие като функции на времето и ги означим
съответно с h(t) и x(t). Тогава реакцията на изхода на филтъра y(t) при
входно въдействие x(t) може да се представи като конволюцията на
импулсната му характеристика с входния сигнал:
y(t)=
�
�
��
���
���
dtxhtxh )()()]([
Ако семплираме импулсната характеристика и входния сигнал и ги
представим като редици h(n) и x(n), а не като аналогови величини горния
интеграл може да бъде представен като сума:
�
�
�
��
0
)()()(
k
knxkhny
, където n=0…M и M=N1+N2-1и N1 е дължината на
редицата h(n), а N2 е дължината на редицата x(n).
При втория метод за математическо онагледяване на работата на филтрите
се използва преобразуванието на Фурие, чрез което представяме
функциите не във времевата, а в честотната област:
�
�
��
�
�� )]([)()( txFdtetxjwX
jwt
, където w=2πf
В горния пример е показано Фурие преобразуванието на входния сигнал.
Абсолютната стойност на Фурие преобразуванието X(w)=|F[x(t)]|
представлява амплитудния спектър на входния сигнал.
Фурие преобразуванието на импулсната характеристика на филтъра ни
дава неговата фазово-честотна характеристика:
�
�
��
�
�� )]([)()( thFdtethjwH
jwt
Абсолютната стойност на фазово-честотната характеристика |H(jw)|
представля амплитудно-честотната характеристика на филтъра.
Можем също така да “възстановим” сигналите, т.е. имайки техния
честотен образ да ги представим като функция на времето, чрез обратното
преобразувание на Фурие:
�
�
��
�
�� )]([)()(
2
1
)(
1
jwXFjwdejwX
i
tx
jwt
�
Получаванто на импулсната характеристика на филтъра от фазово-
честотната му характеристика става по същия начин:
)]([)(
1
jwHFth
�
�
.
Ако отново представим сигнала и горните характеристики на филтъра в
цифров вид всички интеграли могат да бъдат записани като суми:
-амплитудния спектър на сигнала в цифров вид:
)]([)()(
12
0
2
nxFenxkX
N
n
kn
N
j
��
�
�
�
�
�
, където k=0…N2-1
-амплитудно-честотната характеристика на филтъра в цифров вид:
Получава се по същия начин: H(k)=F[h(n)], където k=0…N1-1
Получаването на времевия образ на дискретни сигнали от честотния им
образ също се извършва като интеграла от аналоговия вариант на
обратното преобразуванието на Фурие се замести със знак за сума:
)]([)(
2
1
)(
1
12
0
2
2
kXFekX
N
nx
N
k
kn
N
i
�
�
�
��
�
�
, n=0…N2-1
)]([)(
1
1
)(
1
11
0
1
2
kHFekH
N
nh
N
k
kn
N
i
�
�
�
��
�
�
, n=0…N1-1
Описана по-форе операция конволюция във вреемвата област съответства
на умножение в честотната област, т.е умножавайки АЧХ на филтъра със
честотния образ на входния сигнал получаваме честотния образ на
филтрирания сигнал:
Y(k)=H(k).X(k)
След това можем да приложим обратното преобразувание на Фурие и да
получим изходния филтриран сигнал във времевата област:
y(n)=F
-1
[Y(k)]
Реалните опрерации, които нашата дискретна във времето система(в
случая филтър) трябва да извърши с входния дискретен сигнал във
времевата област, за да генерира на изхода си желания филтриран сигнал
се описват с нейното разликово уравнение:
� �
� �
����
N
k
M
k
kk
knyaknxbny
0 1
)()()(
, където a и b се наричат коефициенти
на филтъра.
Горното уравнение може също да бъде представено и в z областта:
� �
� �
��
��
N
k
M
k
k
k
k
k
zYzazXzbzY
0 1
)()()(
По този начин можем да получим предавателната функция на филтъра в z
областта H(z):
�
�
�
�
�
�
�
��
M
k
k
k
N
k
k
k
za
zb
zX
zY
zH
1
0
1
)(
)(
)(
Тези уравнения описват т.н. филтри с безкрайна импулсна
характеристика(БИХ,Infinite Impulse Response, IIR). При тези филтри
стойността на всеки изходен семпъл се определя чрез стойностите на
настоящия и предходните входни семпли и стойностите на предходните
изходни семпли.
Ако всички коефициенти a
k
имат стойност 0 разликовото уравнение и
предавателната функция придобиват вида:
�
�
��
N
k
k
knxbny
0
)()(
�
�
�
��
Н
к
k
k
zb
zX
zY
zH
0
)(
)(
)(
Филтър, описан с новополучените уравнения се нарича филтър с крайна
импулсна характеристика(КИХ, Finite Impulse Response, FIR)
Изходът на такъв филтър зависи само от стойностите на настоящия и
предходните входни семпли.
Импулсната характеристика на филтрите се получава чрез обратно z
преобразуавние на предавателната функция H(z):
h(n)=Z
-1
[H(z)], n=0,1,2,…
Програмният продукт Matlab на фирмата Mathworks предлага широк набор
от инструменти за проектиране, спецификация, анализ и имплементация на
КИХ и БИХ цифрови филтри. В настоящия труд ще бъдат представени
някои от тях.
В първия пример на микрофонния вход на звуковата карта на компютър се
подава правоъгълен сигнал с честота 200Hz и амплитуда 40mV. За
източник на входен сигнал на представените филтри е използван генератор
PC FUNCTION GENERATOR PCG10/816 на фирмата Velleman. За
наблюдение на входния и изходния сигнали на филтрите и на техните
спектри е използван комбиниран уред PC SCOPE PCS500 също на фирмата
Velleman. Входния сигнал и неговия спектрален образ са представени на
фиг.1.
评论0