CRC 的全称为 Cyclic Redundancy Check，中文名称为循环冗余校验。它是一类重
要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地
用于实现差错控制。实际上，除数据通信外，CRC 在其它很多领域也是大有用武
之地的。例如我们读软盘上的文件，以及解压一个 ZIP 文件时，偶尔会碰到“Bad
CRC”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。
差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介
绍 CRC 的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分
组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。
利用 CRC 进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传
送的 k 位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的 r 位监督码(CRC 码)，
附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共 k+r 位，然后发送出去。在
接收端，根据信息码和 CRC 码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出
错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。
1 代数学的一般性算法
在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各
码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为
1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为 P(x)，P(x)的最高幂次加 1 等于
k；生成多项式为 G(x)，G(x)的最高幂次等于 r；CRC 多项式为 R(x)；编码后的
带 CRC 的信息多项式为 T(x)。
发送方编码方法：将 P(x)乘以 xr(即对应的二进制码序列左移 r
位)，再除以 G(x)，所得余式即为 R(x)。用公式表示为
T(x)=xrP(x)+R(x)
接收方解码方法：将 T(x)除以 G(x)，如果余数为 0，则说明传
输中无错误发生，否则说明传输有误。
举例来说，设信息码为 1100，生成多项式为 1011，即
P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，计算 CRC 的过程为
xrP(x) x3(x3+x2) x6+x5
x
-------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + --------
G(x) x3+x+1 x3+x+1
x3+x+1
即 R(x)=x。注意到 G(x)最高幂次 r=3，得出 CRC 为 010。
如果用竖式除法，计算过程为
