a-1.rar_矩阵的逆资源-CSDN文库

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167 浏览量 2022-09-20 13:36:31 上传评论收藏 1010B RAR 举报

在数学和计算机科学中，矩阵是二维数组，广泛应用于线性代数、图像处理、物理模拟等多个领域。矩阵的逆是矩阵理论中的一个重要概念，它允许我们解决线性方程组，进行矩阵相乘的逆操作，以及进行数据变换等多种计算。当我们提到“求某矩阵的逆矩阵”，这通常是指找出一个特定矩阵 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)，使得 \( AA^{-1} = A^{-1}A = I \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。让我们深入理解矩阵逆的概念。对于一个 \( n \times n \) 的方阵 \( A \)，如果存在另一个 \( n \times n \) 的方阵 \( A^{-1} \)，使得上述等式成立，那么我们就说矩阵 \( A \) 是可逆的，或者非奇异的。如果 \( A \) 不可逆，也就是不存在 \( A^{-1} \)，我们称 \( A \) 为奇异矩阵或退化矩阵。求解矩阵的逆有多种方法，下面介绍几种常见的方法： 1. 高斯-约旦消元法：这是通过行变换将矩阵 \( [A | I] \) 变换为 \( [I | A^{-1}] \) 来求逆的一种方法。其中，\( I \) 是与 \( A \) 同阶的单位矩阵，通过一系列行变换，最终将 \( A \) 变换为单位矩阵，而 \( A^{-1} \) 就位于右边的子矩阵中。 2.伴随矩阵法：矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \) 定义为 \( (A^*)_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}) \)，其中 \( M_{ij} \) 是 \( A \) 去掉第 \( i \) 行和第 \( j \) 列后形成的 \( (n-1) \times (n-1) \) 子矩阵的行列式。然后 \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}A^* \)。 3. 逆矩阵公式：如果 \( A \) 可以表示为 \( A = LDL^T \) 或 \( A = UDU^T \)（其中 \( D \) 是对角矩阵，\( L \) 和 \( U \) 是下三角矩阵和上三角矩阵），那么 \( A^{-1} = D^{-1}L^{-1}U^{-1} \)。 4. 使用编程语言中的库函数：在实际应用中，我们通常会利用编程语言如Python的numpy库，MATLAB等，它们提供了内置的函数来计算矩阵的逆，如numpy.linalg.inv()。 5. QR分解法：通过QR分解将矩阵 \( A \) 分解为 \( A = QR \)，其中 \( Q \) 是正交矩阵，\( R \) 是上三角矩阵，然后 \( A^{-1} = R^{-1}Q^T \)，其中 \( R^{-1} \) 是通过回代法求得的。在实际编程中，我们通常会选用数值稳定性较好的方法，因为直接计算伴随矩阵可能会导致数值不稳定。例如，高斯-约旦消元法在处理大型矩阵时可能会导致数值误差积累，而QR分解或LU分解等方法在数值稳定性方面表现更好。在给定的压缩包文件中，"矩阵求逆.txt" 可能包含了关于如何用编程语言实现矩阵逆的算法或代码示例，而 "www.pudn.com.txt" 可能是一个链接或其他相关资源，用于获取更多关于矩阵求逆的信息。学习并理解这些方法对于理解和应用矩阵逆是非常关键的。

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矩阵求逆的程序源码船长 @ 2004-09-08 08:52 用C写的，做成DLL使用很方便。 double * MatrixOpp(double A[],int m,int n) /*矩阵求逆*/ { int i,j,x,y,k; double *SP=NULL,*AB=NULL,*B=NULL,X,*C; SP=(double *)malloc(m*n*sizeof(double)); AB=(double *)malloc(m*n*sizeof(double)); B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double)); X=Surplus(A,m,n); X=1/X; for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) {for(k=0;k<m*n;k++) B[k]=A[k]; {for(x=0;x<n;x++) B[i*n+x]=0; for(y=0;y<m;y++) B[m*y+j]=0; B[i*n+j]=1; SP[i*n+j]=Surplus(B,m,n); AB[i*n+j]=X*SP[i*n+j]; } } C=MatrixInver(AB,m,n); return C; } double * MatrixInver(double A[],int m,int n) /*矩阵转置*/ { int i,j; double *B=NULL; B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double)); for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<m;j++) B[i*m+j]=A[j*n+i]; return B; } double Surplus(double A[],int m,int n) /*求矩阵行列式*/ { int i,j,k,p,r; double X,temp=1,temp1=1,s=0,s1=0; if(n==2) {for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) if((i+j)%2) temp1*=A[i*n+j]; else temp*=A[i*n+j]; X=temp-temp1;} else{ for(k=0;k<n;k++) {for(i=0,j=k;i<m,j<n;i++,j++) temp*=A[i*n+j]; if(m-i) {for(p=m-i,r=m-1;p>0;p--,r--) temp*=A[r*n+p-1];} s+=temp; temp=1; } for(k=n-1;k>=0;k--) {for(i=0,j=k;i<m,j>=0;i++,j--) temp1*=A[i*n+j]; if(m-i) {for(p=m-1,r=i;r<m;p--,r++) temp1*=A[r*n+p];} s1+=temp1; temp1=1; } X=s-s1;} return X; }