Compression et D
´
ebruitage avec les ondelettes.
Anestis Antoniadis
antonia@imag.fr
http://www-lmc.imag.fr/SMS
1
Plan
G
´
en
´
eralit
´
es sur les d
´
ecompositions en ondelettes
• Les ondelettes
. Analyses multir
´
esolution
. Algorithmes de calcul
• Approximation et compression
. Lin
´
eaire
. Non lin
´
eaire
D
´
ebruitage et probl
`
emes d’estimation non param
´
etrique
• R
´
egularisation
• Propri
´
et
´
es asymptotiques
• Applications
Anestis Antoniadis, LMC IMAG, IS2, 21 Mars 2003 2
G
´
en
´
eralit
´
es
Tant en math
´
ematique qu’en physique, on a souvent int
´
er
ˆ
et
`
a repr
´
esenter un “signal” observ
´
e comme une superposition
ad
´
equate de fonctions
´
el
´
ementaires, cette repr
´
esentation
´
etant
adapt
´
ee au probl
`
eme
´
etudi
´
e.
Afin d’obtenir de telles repr
´
esentations qui ne soient pas unique-
ment int
´
eressantes pour la th
´
eorie mais aussi pour les applica-
tions, on a besoin d’algorithmes rapides de calcul.
Une fois en possession de ces “fonctions
´
el
´
ementaires”, on peut
essayer d’obtenir une bonne reconstitution de l’objet
´
etudi
´
e en
n’utilisant qu’un nombre limit
´
e de telles fonctions, ce qui peut se
concevoir comme une t
ˆ
ache d’approximation ou de compression.
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La base de Haar
La base de Haar est la base d’ondelettes la plus simple.
Nous allons pr
´
esenter dans un premier temps une m
´
ethode naturelle de
d
´
ecomposition d’une fonction int
´
egrable.
Imaginons que l’on se donne une fonction f ∈ L
1
([0, 1], digitalis
´
ee
(discr
´
etis
´
ee) sur 8 valeurs :
[2 4 8 12 14 0 2 1]
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On peut repr
´
esenter la fonction pr
´
ec
´
edente de mani
`
ere diff
´
erente en ex-
ploitant une
´
eventuelle corr
´
elation de valeurs voisines.
Pour ce faire, moyennons d’abord les paires de valeurs voisines pour obtenir:
[3 10 7 1.5]
Afin de r
´
ecup
´
erer le signal initial nous devons
´
egalement enregistrer
d’autres valeurs repr
´
esentant la perte d’information.
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