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快速傅立叶变换（FFT）的C++实现（转）_随同个人百度首页 | 百度空间 | 登录 随同个人无忍则无济，有爱即有忧 主页博客相册|个人档案 查看文章 快速傅立叶变换（FFT）的C++实现（转）2007年10月17日 星期三 15:47标准的离散傅立叶 DFT 变换形式如： yk=Σj=0n-1 ajωn-kj = A (ωn-k). （ωnk 为复数 1 的第 k 个 n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σj=0n-1 ajxj ） 而离散傅立叶逆变换 IDFT (Inverse DFT)形式如： aj=(Σk=0n-1 ykωnkj)/n . 以下不同颜色内容为引用并加以修正： 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 设 Xn 为 N 项的复数序列，由 DFT 变换，任一 Xi 的计算都需要 N 次复数乘法和 N -1 次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出 N 项复数序列的 Xi ，即 N 点 DFT 变换大约就需要 N2 次运算。当 N =1024 点甚至更多的时候，需要 N2 = 1048576 次运算，在 FFT 中，利用 ωn 的周期性和对称性，把一个 N 项序列（设 N 为偶数），分为两个 N / 2 项的子序列，每个 N / 2点 DFT 变换需要 (N / 2)2 次运算，再用 N 次运算把两个 N / 2点的 DFT 变换组合成一个 N 点的 DFT 变换。这样变换以后，总的运算次数就变成 N + 2 * (N / 2)2 = N + N2 / 2。继续上面的例子，N =1024 时，总的运算次数就变成了525312 次，节省了大约 50% 的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的 DFT 运算单元，那么N 点的 DFT 变换就只需要 N * log2N 次的运算，N = 1024 点时，运算量仅有 10240 次，是先前的直接算法的1% ，点数越多，运算量的节约就越大，这就是 FFT 的优越性。 FFT 的实现可以自顶而下，采用递归，但是对于硬件实现成本高，对于软件实现都不够高效，改用迭代较好，自底而上地解决问题。感觉和归并排序的迭代版很类似，不过先要采用“位反转置换”的方法把 Xi 放到合适的位置，设 i 和 j 互为s = log2N 位二进制的回文数，假设 s = 3, i = (110)2 = 6, j = (011)2 = 3, 如果 i ≠ j , 那么 Xi 和 Xj 应该互换位置。（关于这个回文数的生成，是很有趣而且是很基本的操作，想当初偶初学 C++ 的时候就有这样的习题。）当“位反转置换”完成后，先将每一个Xi 看作是独立的多项式，然后两个两个地将它们合并成一个多项式（每个多项式有 2 项），合并实际上是“蝶形运算”（Butterfly Operation, 参考《算法导论》吧^_^），继续合并（第二次的每个多项式有 4 项），直到只剩下一个多项式（有 N 项），这样，合并的层数就是 log2N ，每层都有 N 次操作，所以总共有 N * log2N 次操作。迭代过程如下图所示，自底而上。 C++ 源程序，如下： // // 快速傅立叶变换 Fast Fourier Transform // By rappizit@yahoo.com.cn // 2007-07-20 // 版本 2.0 // 改进了《算法导论》的算法，旋转因子取 ωn-kj (ωnkj 的共轭复数) // 且只计算 n / 2 次，而未改进前需要计算 (n * lg n) / 2 次。 // #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> const int N = 1024; const float PI = 3.1416; inline void swap (float &a, float &b) { float t; t = a; a = b; b = t; } void bitrp (float xreal [], float ximag [], int n) { // 位反转置换 Bit-reversal Permutation int i, j, a, b, p; for (i = 1, p = 0; i < n; i *= 2) { p ++; } for (i = 0; i < n; i ++) { a = i; b = 0; for (j = 0; j < p; j ++) { b = (b << 1) + (a & 1); // b = b * 2 + a % 2; a >>= 1; // a = a / 2; } if ( b > i) { swap (xreal [i], xreal [b]); swap (ximag [i], ximag [b]); } } } void FFT(float xreal [], float ximag [], int n) { // 快速傅立叶变换，将复数 x 变换后仍保存在 x 中，xreal, ximag 分别是 x 的实部和虚部 float wreal [N / 2], wimag [N / 2], treal, timag, ureal, uimag, arg; int m, k, j, t, index1, index2; bitrp (xreal, ximag, n); // 计算 1 的前 n / 2 个 n 次方根的共轭复数 W'j = wreal [j] + i * wimag [j] , j = 0, 1, , n / 2 - 1 arg = - 2 * PI / n; treal = cos (arg); timag = sin (arg); wreal [0] = 1.0; wimag [0] = 0.0; for (j = 1; j < n / 2; j ++) { wreal [j] = wreal [j - 1] * treal - wimag [j - 1] * timag; wimag [j] = wreal [j - 1] * timag + wimag [j - 1] * treal; } for (m = 2; m <= n; m *= 2) { for (k = 0; k < n; k += m) { for (j = 0; j < m / 2; j ++) { index1 = k + j; index2 = index1 + m / 2; t = n * j / m; // 旋转因子 w 的实部在 wreal [] 中的下标为 t treal = wreal [t] * xreal [index2] - wimag [t] * ximag [index2]; timag = wreal [t] * ximag [index2] + wimag [t] * xreal [index2]; ureal = xreal [index1]; uimag = ximag [index1]; xreal [index1] = ureal + treal; ximag [index1] = uimag + timag; xreal [index2] = ureal - treal; ximag [index2] = uimag - timag; } } } } void IFFT (float xreal [], float ximag [], int n) { // 快速傅立叶逆变换 float wreal [N / 2], wimag [N / 2], treal, timag, ureal, uimag, arg; int m, k, j, t, index1, index2; bitrp (xreal, ximag, n); // 计算 1 的前 n / 2 个 n 次方根 Wj = wreal [j] + i * wimag [j] , j = 0, 1, , n / 2 - 1 arg = 2 * PI / n; treal = cos (arg); timag = sin (arg); wreal [0] = 1.0; wimag [0] = 0.0; for (j = 1; j < n / 2; j ++) { wreal [j] = wreal [j - 1] * treal - wimag [j - 1] * timag; wimag [j] = wreal [j - 1] * timag + wimag [j - 1] * treal; } for (m = 2; m <= n; m *= 2) { for (k = 0; k < n; k += m) { for (j = 0; j < m / 2; j ++) { index1 = k + j; index2 = index1 + m / 2; t = n * j / m; // 旋转因子 w 的实部在 wreal [] 中的下标为 t treal = wreal [t] * xreal [index2] - wimag [t] * ximag [index2]; timag = wreal [t] * ximag [index2] + wimag [t] * xreal [index2]; ureal = xreal [index1]; uimag = ximag [index1]; xreal [index1] = ureal + treal; ximag [index1] = uimag + timag; xreal [index2] = ureal - treal; ximag [index2] = uimag - timag; } } } for (j=0; j < n; j ++) { xreal [j] /= n; ximag [j] /= n; } } void FFT_test () { char inputfile [] = "input.txt"; // 从文件 input.txt 中读入原始数据 char outputfile [] = "output.txt"; // 将结果输出到文件 output.txt 中 float xreal [N] = {}, ximag [N] = {}; int n, i; FILE *input, *output; if (!(input = fopen (inputfile, "r"))) { printf ("Cannot open file. "); exit (1); } if (!(output = fopen (outputfile, "w"))) {