nijuzhen.rar_模逆矩阵_矩阵模逆资源-CSDN文库

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166 浏览量 2022-09-14 14:52:21 上传评论收藏 7KB RAR 举报

在密码学领域，模逆矩阵是一个重要的数学工具，特别是在公钥加密算法如RSA或ElGamal等中扮演着核心角色。模逆矩阵的概念源于线性代数中的逆矩阵概念，但在模运算的环境下进行扩展。这里我们将深入探讨模逆矩阵的定义、计算方法以及它在密码学中的应用。让我们定义模逆矩阵。如果有一个整数矩阵A，我们说它在模p下有逆矩阵，意味着存在另一个整数矩阵B，使得AB ≡ I (mod p)，其中I是单位矩阵，而"≡"表示模p的同余关系。这意味着两矩阵相乘的结果对p取模后等于单位矩阵。这个矩阵B就是A的模逆矩阵。计算模逆矩阵通常使用扩展欧几里得算法，该算法是求解最大公约数问题的扩展，可以同时求出两个数a和b的线性组合ax + by = gcd(a, b)的解。在矩阵环境中，我们可以将扩展欧几里得算法应用于每个矩阵元素，从而找到模逆矩阵的元素。具体步骤如下： 1. 对于矩阵A中的每个非主对角线元素aij，找到它的模p逆数aij^(-1)，即满足aij * aij^(-1) ≡ 1 (mod p)。 2. 使用高斯消元法在模p下对矩阵进行行简化，将其转换为单位下三角形矩阵，然后反向执行相同的变换，得到逆矩阵。在给定的压缩包中，"www.pudn.com.txt"可能是提供有关资源来源的文本文件，而"nijuzhen"可能是一个源代码文件，包含实现上述算法的程序。这个源代码可能用C、C++、Python或其他编程语言编写，用于计算给定矩阵的模逆。在密码学中，模逆矩阵的应用主要体现在以下方面： 1. RSA算法：RSA的公钥和私钥的生成过程中，需要用到大整数的模逆。例如，私钥d是e（公钥）在模phi(n)下的模逆，其中phi(n)是欧拉函数的值。 2. ElGamal加密：密文的生成依赖于公钥的模逆，以实现信息的加解密。 3. 数字签名：模逆在数字签名算法如DSA中用于计算签名和验证签名。 4. 哈希函数和伪随机数生成：模逆矩阵可以用于构造线性同态哈希函数或伪随机数生成器，以提高安全性。模逆矩阵是密码学中不可或缺的一部分，理解和计算模逆矩阵对于理解及实现许多高级密码系统至关重要。通过提供的源代码，我们可以学习如何在实际程序中应用这些数学概念，以实现安全的加密和解密操作。

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#include<iostream.h> int qiuni(int n,int m) { int q[10],r,a,b,X,Y,i=0; int x[10],y[10]; x[0]=y[0]=0; x[1]=1; a=n; b=m; if(n<m) { int temp; temp=n; n=m; m=temp;} while(m!=0) { q[i]=n/m; r=n%m; n=m; m=r; i++;} for(int j=0;j+1<i;j++) x[j+2]=-q[j]*x[j+1]+x[j]; if(a<b) {X=x[i]; Y=-((a*X-n)/b); return X;} else { Y=x[i]; X=-((b*Y-n))/a; return X;} } void main() { int m[3][3],i,j,D,p; cout<<"mod:"; cin>>p; cout<<"please input the elements of matrix"<<endl; for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) cin>>m[i][j]; D=m[0][0]*(m[1][1]*m[2][2]-m[2][1]*m[1][2])-m[0][1]*(m[1][0]*m[2][2]-m[2][0]*m[1][2]) +m[0][2]*(m[1][0]*m[2][1]-m[2][0]*m[1][1]);cout<<D<<endl; int t[3][3],x; t[0][0]=m[1][1]*m[2][2]-m[2][1]*m[1][2]; t[1][0]=-(m[1][0]*m[2][2]-m[2][0]*m[1][2]); t[2][0]=m[1][0]*m[2][1]-m[2][0]*m[1][1]; t[0][1]=-(m[0][1]*m[2][2]-m[2][1]*m[0][2]); t[1][1]=m[0][0]*m[2][2]-m[2][0]*m[0][2]; t[2][1]=-(m[0][0]*m[2][1]-m[2][0]*m[0][1]); t[0][2]=m[0][1]*m[1][2]-m[1][1]*m[0][2]; t[1][2]=-(m[0][0]*m[1][2]-m[1][0]*m[0][2]); t[2][2]=m[0][0]*m[1][1]-m[1][0]*m[0][1]; x=qiuni(D,p); if(x<0) x=x+p; cout<<x<<endl; for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) { if(t[i][j]<0) t[i][j]=(t[i][j]*x)%p+p; else t[i][j]=(t[i][j]*x)%p; cout<<t[i][j]<<",";} }