Levinson-Durbin 算法
为了使读者对 Levinson-Durbin 算法的应用背景有所了解，在此我们先简单地描述一下
基于最小均方误差的线性预测编码（LPC）算法。
假设
)(ny
是一实数据列， ，我们可以用过去时刻的
N
个数据来预测当
前时刻的数据
)(ny
， 即：
��������
�
�
n-,)()()(
ˆ
1
N
k
N
knykany
(A.1)
这里
)(ka
N
即为预测系数。定义预测误差
)(ne
为
)(
ˆ
)()( nynyne ��
(A.2)
我们将采用最小均方误差准则来选择
)(ka
N
的值，使得式(A.3)总误差
N
E
最小。
� ��
�
��� �
�
���
�
�
�
�
�
�
����
n
N
k
N
n
N
knykanyneE
2
1
2
)()()()(
(A.3)
这种优化参数
)(ka
N
的方法导致了求解如下的正则方程组
NllRlkRka
yy
N
k
yyN
,,2,,)()()(
1
�����
�
�
(A.4)
这里的
)(kR
yy
是序列
)(ny
的自相关系数。式（A.4）可写成如下的矩阵形式：
NNN
raR ���
（A.5）
其中
� �
T
NNNN
Naaa )(,),2(),1( ��a
(A.6)
� �
T
yyyyyyN
NRRR )(,),2(),1( ��r
(A.7)
注意到
)(kR
yy
具有
)()( jiRjiR
yyyy
���
的性质，式(A.5)中的
N
R
可写成如下形式
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
)0()2()1(
)2()0()1(
)1()1()0(
yyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
N
RNRNR
NRRR
NRRR
�
����
�
�
R
(A.8)
������ n
