原理:
给定一组坐标(x,y,z) 拟合成函数 (x,y,z 为行向量)
1 1
0 0
( , )
p q
i j
ij
i j
Z x y aa x y
- -
= =
=
å å
(aa 为 p x q 的系数矩阵)
由最小二乘法得:
点(
00
aa
…..
1 1p q
aa
- -
)是多元函数
S(
00
aa
…..
pq
aa
)=
1 1
2
1 0 0
( , )[ ( , )]
p q
n
i j
i j ij i j
g i j
x y aa x y f x y
w
- -
= = =
-
å å å
(w(x,y)为权函数,默认为 1)
的极小点,从而
00
aa
…..
1 1p q
aa
- -
必须满足方程组
0
ij
S
a
¶
=
¶
(ij=0…pq)
对 S 函数求偏导,移项之后得
00 00 00 01 00 1 1
1 1 00 1 1 01 1 1 1 1
( , )( , ) ( , )
( , )( ) ( , )
p q
p q p q p q p q
j j j j j j
j j j j j j
- -
- - - - - - - -
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
K
M O M
L
00
1 1p q
aa
aa
- -
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
M
=
00
1 1
( , )
( , )
p q
f
f
j
j
- -
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
M
其中
0 0
00
x y
j
=
,
0 1
01
x y
j
=
,
L
1 1
1 1
p q
p q
x y
j
- -
- -
=
也就是 A*a_n=B