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VComputational_geometry.doc 1.5MB

计算几何

2008-11-11

(1)几何公式

【三角形】:

1. 半周长 P=(a+b+c)/2

2. 面积

S=aHa/2=absin(C)/2=sqrt(P(P-a)(P-b)(P

-c))

3. 中线

Ma=sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)/2=sqrt(b^2+c^

2+2bccos(A))/2

4. 角平分线

Ta=sqrt(bc((b+c)^2-a^2))/(b+c)=2bccos

(A/2)/(b+c)

5. 高线

Ha=bsin(C)=csin(B)=sqrt(b^2-((a^2+b^2

-c^2)/(2a))^2)

6. 内切圆半径

r=S/P=asin(B/2)sin(C/2)/sin((B+C)/2)

=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=sqrt((P-a

)(P-b)(P-c)/P)

=Ptan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)

7. 外接圆半径

R=abc/(4S)=a/(2sin(A))=b/(2sin(B))=c/

(2sin(C))

【四边形】:

D1,D2 为对角线,M 对角线中点连线,A 为对

角线夹角

1. a^2+b^2+c^2+d^2=D1^2+D2^2+4M^2

2. S=D1D2sin(A)/2

(以下对圆的内接四边形)

3. ac+bd=D1D2

4. S=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)(P-d)),P 为半

周长

【正 n 边形】:

R 为外接圆半径,r 为内切圆半径

1. 中心角 A=2PI/n

2. 内角 C=(n-2)PI/n

3. 边长

a=2sqrt(R^2-r^2)=2Rsin(A/2)=2rtan(A/2

)

4. 面积

S=nar/2=nr^2tan(A/2)=nR^2sin(A)/2=na^

2/(4tan(A/2))

【圆】:

1. 弧长 L=rA

2. 弦长 a=2sqrt(2hr-h^2)=2rsin(A/2)

3. 弓形高

h=r-sqrt(r^2-a^2/4)=r(1-cos(A/2))=ata

n(A/4)/2

4. 扇形面积 S1=rl/2=r^2A/2

5. 弓形面积

S2=(rl-a(r-h))/2=r^2(A-sin(A))/2

【棱柱】:

1. 体积 V=Ah,A 为底面积,h 为高

2. 侧面积 S=lp,l 为棱长,p 为直截面周长

3. 全面积 T=S+2A

【棱锥】:

1. 体积 V=Ah/3,A 为底面积,h 为高

(以下对正棱锥)

2. 侧面积 S=lp/2,l 为斜高,p 为底面周长

3. 全面积 T=S+A

【棱台】:

1. 体积 V=(A1+A2+sqrt(A1A2))h/3,A1.A2 为

上下底面积,h 为高

(以下为正棱台)

2. 侧面积 S=(p1+p2)L/2,p1.p2 为上下底面

周长,l 为斜高

3. 全面积 T=S+A1+A2

【圆柱】:

1. 侧面积 S=2PIrh

2. 全面积 T=2PIr(h+r)

3. 体积 V=PIr^2h

【圆锥】:

1. 母线 L=sqrt(h^2+r^2)

2. 侧面积 S=PIrl

3. 全面积 T=PIr(L+r)

4. 体积 V=PIr^2h/3

【圆台】:

1. 母线 L=sqrt(h^2+(r1-r2)^2)

2. 侧面积 S=PI(r1+r2)L

3. 全面积 T=PIr1(L+r1)+PIr2(L+r2)

4. 体积 V=PI(r1^2+r2^2+r1r2)h/3

【球】:

1. 全面积 T=4PIr^2

2. 体积 V=4PIr^3/3

【球台】:

1. 侧面积 S=2PIrh

计算几何

2008-11-11

2. 全面积 T=PI(2rh+r1^2+r2^2)

3. 体积 V=PIh(3(r1^2+r2^2)+h^2)/6

【球扇形】:

1. 全面积 T=PIr(2h+r0),h 为球冠高,r0 为

球冠底面半径

2. 体积 V=2PIr^2h/3

Euler 的任意四面体体积公式（已知边长求

体积）

已知 4 点坐标求体积（其中四个点的坐标分

别为（x1,y1,z1）,（x2,y2,z2）,

（x3,y3,z3）,（x4,y4,z4）

1 1 1 1

1 2 3 4

(1/ 6) * .

1 2 3 4

x x x x

y y y y

z z z z

）

注意事项：

1. 注意舍入方式(0.5 的舍入方向);防止输

出-0.

2. 几何题注意多测试不对称数据.

3. 整数几何注意 xmult 和 dmult 是否会出

界;

符点几何注意 eps 的使用.

4. 避免使用斜率;注意除数是否会为 0.

5. 公式一定要化简后再代入.

6. 判断同一个 2*PI 域内两角度差应该是

abs(a1-a2)<beta||abs(a1-a2)>pi+pi-bet

相等应该是

abs(a1-a2)<eps||abs(a1-a2)>pi+pi-eps;

7. 需要的话尽量使用 atan2,注

意:atan2(0,0)=0,

atan2(1,0)=pi/2,atan2(-1,0)=-pi/2,ata

n2(0,1)=0,atan2(0,-1)=pi.

8. cross product = |u|*|v|*sin(a)

dot product = |u|*|v|*cos(a)

9. (P1-P0)x(P2-P0)结果的意义:

正: <P0,P1>在<P0,P2>顺时针(0,pi)内

负: <P0,P1>在<P0,P2>逆时针(0,pi)内

0 : <P0,P1>,<P0,P2>共线,夹角为 0 或 pi

(2)ComputationalGeometry2008

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define eps 1e-6

#define pi acos(-1)

#define MaxNode 1000

#define sqr(a) ((a) * (a))

#define IsZero(a) (fabs(a) < eps)

#define same(a, b) (fabs((a) - (b)) < eps)

#define dot(a, b) (a.x * b.x + a.y * b.y)

#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

#define cross(a, b) (a.x * b.y - a.y * b.x)

#define left(a, b, c) (multi(a, b, c) > 0)

#define triArea(a, b, c) (fabs(multi(a, b, c) /

2))

#define PointInCircle2(p, c) (dis2(p, c.center)

<= c.r)

#define dis2(a, b) sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y -

b.y))

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

36 .

2 2

p q n p r m

p q n q r l

V q

p r m q r l

+ - + -

计算几何

2008-11-11

#define dis3(a, b) sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y -

b.y) + sqr(a.z - b.z))

#define multi(a, b, c) (((double)b.x - a.x) *

(c.y - a.y) - ((double)c.x - a.x) * (b.y - a.y))

struct point

{

double x, y;

point operator-(point &a)

{

point b;

b.x = x - a.x;

b.y = y - a.y;

return b;

}

};

struct line

{

double a, b, c;

};

struct circle

{

point center;

double r;

};

struct polygon

{

int n;

point p[MaxNode];

};

double polygonArea(polygon poly)

{

//已知多边形各顶点的坐标，求其面积

double area = 0.0;

int n = poly.n;

for(int i = 1;i <= n;i++)

area += (poly.p[i - 1].x * poly.p[i %

n].y - poly.p[i % n].x * poly.p[i - 1].y);

return fabs(area) / 2;

}

int PointInTriangle(point p, point a, point b,

point c)

{

return same(triArea(a, b, c), triArea(p, a,

+ triArea(p, b, c) + triArea(p, c, a));

}

double get_angle(point center, point p)

{

//以 center 为原点，p 的斜角

point b = p - center;

double a;

if(IsZero(b.x))

{

if(b.y > 0) return pi / 2;

return pi * 3 / 2;

}

else

{

a = atan(b.y / b.x);

if(b.x < 0) a += pi;

if(a < 0) a += 2 * pi;

return a;

}

line lineFromSegment(point p1, point p2)

{

//线段所在直线,返回直线方程的三个

系统

line tmp;

tmp.a = p2.y - p1.y;

tmp.b = p1.x - p2.x;

tmp.c = p2.x * p1.y - p1.x * p2.y;

return tmp;

}

int On_Segment(point p1, point p2, point p3)

{

if(p1.x < max(p2.x, p3.x) && p1.x >

min(p2.x, p3.x)

&& p1.y < max(p2.y, p3.y) && p1.y >

min(p2.y, p3.y)) return 1;

return 0;

}

int isIntersected(point s1, point e1, point s2,

point e2)

{

int d1, d2, d3, d4;

d1 = multi(s1, s2, e1);

计算几何

2008-11-11

d2 = multi(s1, e1, e2);

d3 = multi(s2, s1, e2);

d4 = multi(s2, e2, e1);

if(d1 * d2 > 0 && d3 * d4 > 0) return 1;

if(d1 == 0 && On_Segment(s2, s1, e1))

return 1;

if(d2 == 0 && On_Segment(e2, s1, e1))

return 1;

if(d3 == 0 && On_Segment(s1, s2, e2))

return 1;

if(d4 == 0 && On_Segment(e1, s2, e2))

return 1;

return 0;

}

int isIntersected(point s1, point e1, point s2,

point e2)

{

//判断线段是否相交

//1.快速排斥试验判断以两条线段为对

角线的两个矩形是否相交

//2.跨立试验

if(

(max(s1.x, e1.x) >= min(s2.x, e2.x))

(max(s2.x, e2.x) >= min(s1.x, e1.x))

(max(s1.y, e1.y) >= min(s2.y, e2.y))

(max(s2.y, e2.y) >= min(s1.y, e1.y))

(multi(s1, s2, e1) * multi(s1, e1, e2)

>= 0) &&

(multi(s2, s1, e2) * multi(s2, e2, e1)

>= 0)

) return 1;

return 0;

}

point LineInter(line l1, line l2)

{

//求两直线得交点坐标

point tmp;

double a1 = l1.a;

double b1 = l1.b;

double c1 = l1.c;

double a2 = l2.a;

double b2 = l2.b;

double c2 = l2.c;

if(fabs(b1) < eps)

{

tmp.x = -c1 / a1;

tmp.y = (-c2 - a2 * tmp.x) / b2;

}

else

{

tmp.x = (c1 * b2 - b1 * c2) / (b1 *

a2 - b2 * a1);

tmp.y = (-c1 - a1 * tmp.x) / b1;

}

return tmp;

}

int PointSame(point a, point b)

{

if(fabs(a.x - b.x) > eps) return 0;

if(fabs(a.y - b.y) > eps) return 0;

return 1;

}

point LineInter(point s1, point e1, point s2,

point e2)

{

point a, b;

a = e1 - s1;

b = e2 - s2;

if(fabs(cross(a, b)) < eps)

{

if(PointSame(s1, s2)) return s1;

else if(PointSame(s1, e2)) return s1;

else if(PointSame(e1, s2)) return e1;

else if(PointSame(e1, e2)) return e1;

return s1;

}

line l1, l2;

l1 = lineFromSegment(s1, e1);

l2 = lineFromSegment(s2, e2);

return LineInter(l1, l2);

}

int PointOnSegment(point p, point p1, point

p2)

{

计算几何

2008-11-11

// 判断 p 点是否在线段 p1p2 上

//1.p 是否在直线 p1p2 上

//2.p 是否在以 p1p2 为对角线的矩形中

if(fabs(multi(p, p1, p2)) > eps) return 0 ;

if((p.x > p1.x && p.x > p2.x) || (p.x <

p1.x && p.x < p2.x)) return 0;

if((p.y > p1.y && p.y > p2.y) || (p.y <

p1.y && p.y < p2.y)) return 0;

return 1;

}

circle circumcircleOfTriangle(point t0, point

t1, point t2)

{

//三角形的外接圆

circle tmp;

double a, b, c, c1, c2;

double xA, yA, xB, yB, xC, yC;

a = dis2(t0, t1);

b = dis2(t1, t2);

c = dis2(t2, t0);

//根据 S = a * b * c / R / 4;求半径 R

tmp.r = a * b * c / triArea(t0, t1, t2) / 4;

xA = t0.x; yA = t0.y;

xB = t1.x; yB = t1.y;

xC = t2.x; yC = t2.y;

c1 = (xA * xA + yA * yA - xB * xB - yB

* yB) / 2;

c2 = (xA * xA + yA * yA - xC * xC - yC

* yC) / 2;

tmp.center.x = (c1 * (yA - yC) - c2 * (yA

- yB)) /

((xA - xB) * (yA - yC) - (xA - xC) *

(yA - yB));

tmp.center.y = (c1 * (xA - xC) - c2 * (xA

- xB)) /

((yA - yB) * (xA - xC) - (yA - yC) *

(xA - xB));

return tmp;

}

circle incircleOfTriangle(point t0, point t1,

point t2)

{

//三角形的内接圆

circle tmp;

double a, b, c, angleA, angleB, angleC, p,

p2, p3, f1, f2;

double xA, yA, xB, yB, xC, yC;

a = dis2(t0, t1);

b = dis2(t1, t2);

c = dis2(t2, t0);

S = p * r

p = (a + b + c) / 2;

r = S / P = 2 * S / (a + b + c)

tmp.r = 2 * triArea(t0, t1, t2) / (a + b +c);

angleA = acos((b * b + c * c - a * a) / (2 *

b * c));

angleB = acos((a * a + c * c - b * b) / (2 *

a * c));

angleC = acos((a * a + b * b - c * c) / (2 *

a * b));

p = sin(angleA / 2);

p2 = sin(angleB / 2);

p3 = sin(angleC / 2);

xA = t0.x; yA = t0.y;

xB = t1.x; yB = t1.y;

xC = t2.x; yC = t2.y;

f1 = ((tmp.r / p2) * (tmp.r / p2) - (tmp.r /

p) * (tmp.r / p) +

xA * xA - xB * xB + yA * yA - yB

* yB) / 2;

f2 = ((tmp.r / p3) * (tmp.r / p3) - (tmp.r /

p) * (tmp.r / p) +

xA * xA - xC * xC + yA * yA - yC

* yC) / 2;

tmp.center.x = (f1 * (yA - yC) - f2 * (yA

- yB)) /

((xA - xB) * (yA - yC) - (xA - xC) *

(yA - yB));

tmp.center.y = (f1 * (xA - xC) - f2 * (xA

- xB)) /

((yA - yB) * (xA - xC) - (yA - yC) *

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