华中科技大学《矩阵论》期末复习笔记
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2023-11-18
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矩
阵
论
复
习
笔
记
1. 线性空间与线性变换
（1）线性空间的定义：
以
为元素的非空集合 ，数域 ，定义两种运算：加法 ；数乘
。满足8条：加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律，0元存在，1元存
在，负元存在。称
为数域 上的线性空间。
（2）证明一组向量是线性空间的基，两步走：
证明这组向量线性无关；
证明线性空间任意向量可由这组向量表示。
（3）如果
是矩阵空间 的一组基，则 。
注：这里有前提条件，实际上
并不是总等于 ，如2015年填空题第2题。
（4）
是线性空间 的一组基，对于 ,
其中 称为向量 在基 下对应的坐标。
中向量组 线性相关的充要条件是坐标向量组 是线性相关组。
（5）设
和 是 维线性空间 中的两组基，则有
其中 称为从基设 到 的过渡矩阵。
重要推论：如果向量
， 在两组基下对应坐标分别是 和 ，则有：
显然有： 。
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