动态规划解决01背包问题

动态规划解决01背包问题 动态规划是解决01背包问题的有效方法，该方法的核心是填表，通过填表来找到问题的最优解。下面对动态规划解决01背包问题的知识点进行详细的解释。 一、问题描述 01背包问题是指有n个物品，每个物品有其重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？这是一个典型的组合优化问题。 二、总体思路 解决01背包问题需要按照动态规划的思路，首先对问题进行抽象化，然后建立模型，寻找约束条件，判断是否满足最优性原理，找出大问题与小问题的递推关系式，填表，寻找解组成。具体来说，包括以下步骤： 1. 抽象化问题：将问题抽象化为Xi取0或1，表示第i个物品选或不选。 2. 建立模型：建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)。 3. 约束条件：W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity。 4. 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i个物品最佳组合对应的价值。 5. 判断最优性原理：判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明。 6. 寻找递推关系式：面对当前商品有两种可能性，可以装或不装。 7. 填表：首先初始化边界条件，然后一行一行的填表。 三、动态规划的原理及过程 动态规划是解决问题的有效方法，它与分治法类似都是把大问题拆分成小问题，但是动态规划具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算。 1. 原理：动态规划的原理是把大问题拆分成小问题，然后通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。 2. 过程：动态规划的过程包括问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找出大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成。 四、递推关系式 递推关系式是动态规划的核心，它是解决问题的关键。对于01背包问题，递推关系式可以表示为： V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝ 其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i)表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)。 五、填表 填表是动态规划的最后一步，通过填表可以找到问题的最优解。填表的过程可以分为两步： 1. 初始化边界条件：V(0,j)=V(i,0)=0。 2. 一行一行的填表：根据递推关系式填写表格，直到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4)｝=max｛9，4+6｝=10。 通过填表，可以找到问题的最优解，即V(4,8)=10。 动态规划是解决01背包问题的有效方法，它可以通过填表找到问题的最优解。动态规划的原理是把大问题拆分成小问题，然后通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。