论文研究-基于TV模型对含乘性噪声图像的去噪算法 .pdf

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基于TV模型对含乘性噪声图像的去噪算法,何磊,潘振宽,在针对乘性噪声的TV模型的基础上,将原本针对加性噪声的典型模型引入到乘性噪声模型中去。与常用的显式和半隐式差分实现方法不同�
中国科技论又在线 http:/www.paper.edu.cn (v)v]- (15) 正则化PM乘性模型的PDE方程 带边缘停止函数的方向扩散乘性模型的PDE方程 (17) 另外, Aubert和 Pujol,给出了另一个针对乘性噪声的模型,其PDE方程为 +a (18) 针对变分方汯的去噪模型还有很多,在此不再赘述。目前国际上对图像去嗓的变分模型 的改进一般就是针对正则化项和保真项进行的改进,其目标也就是在去除噪声并保留边缘的 情况下尽可能的消除或避免ROF模型的缺点。 本文在实验的基础上,从模型数值实现的角度提出了一个改进的数值实现算法,从而有 效避免了在去噪过稈中,图像对比度的丢失,并部分缓解了阶梯效应。在此基础上,基于 ⅣⅤ模犁的基本原理对正则化顶做了一点改进,使得模型在利用显式差分实现时具有跟半隐 式差分相当的稳定性,从而发挥了显式差分的优势,部分缓解了阶梯效应并提高了算法的速 度 基于模型的数值实现 木文差分的实现采用有限差分法进行数值计算。常用的有限差分法数值方案有显式、隐 式和半隐式差分方案。 显式差分方案实现方法 若是采用显式差分方案,(14)式可表达为 +4·/、1 2() 2 (△)(△) 用差商代替偏导数,可得: 2, /2 △ △ △ △ △ 2 在常用的用显式差分来实现梯度卜降流偏微分方程的程序中,对一幅x大小的图 像,不考虑边界的像素,图像内仝部(2)x(-2)个像素计算完毕一次,对应着到艹的 一次迭代的完成。常用的显式差分实现∫法是将(19)式直接写入程序的循环中,根据分析, 中国科技论又在线 http:/www.paper.edu.cn 这样会造成图像对比度的丢失。所以这里用一个备份矩阵(,)来暂存(,)的数据,当 完成了一次迭代之后,再将(,)的数据写回到+(,),具体算法为: 一次迭代廾始 △ 一次迭代结束; +1 这里将改进后的差分算法称为Ub。这种实现方法与普通的实现方法比较,对比度不会 丢失。这是因为像索的收敛要用到周围像索的数据,而普通的实现方法相当于人为规定了 个收敛的顺序,那对于显式差分来说,这样参与达代的像素周围既有第n+1步的值又有第n 步的值,这样就违背了显式差分本米的含义,从而会造成灰度的损失。而使用备价迭代矩阵 的方法,可以保证每个像素周围的收敛环境都是第n步的值,从而避免了不必要的灰度损失。 见图1,(a)为迭代矩阵周围的环境,(b)为像素u(3,3)在迭代收敛过程中,直接把(9)式写入 程序下的周围的环境。(c)为备份迭代矩阵后u(3,3)周围的环境。可以看出,备份迭代矩阵后, 矩阵的收敛不受收敛顺序的影响,从而准确地反映了显式差分的含义。 x+1|x+1 11.1-1)pu-1 4,1) 14349 (a)u(ij)周围的环(b)原算法u(3,3)周围的环琼(c)改进后u(3,3)第n步和第n+1步周围的环境 图改进前后荺代矩阵周围环境的比较 实验取λ=0.01,=0.01,迭代次数均为80次。图2中,(a)为原图加入了均值为0,方 差为0.04的乘性噪声。原图背景、圆形、方形和月牙形的灰度值依次为230、115、0、60 使用原方法迭代80次后,从(b)可以看到对比度明显下降了,其背景、圆形、方形和月牙形 的灰度值变为了200、170、70、130:而采用Ub改进后的结果其灰度值几乎没有变化,还 是230、115、0、60。这种方法尽管图像的平滑区对比度不会丢失,但边缘依然会有一点损 失。图3中,通过对lena原图进行10次迭代后,取(-)的值进行比较。从(b)中可以看到, 原显式差分实现方法不仅在图像的边缘处,而且在平滑区都有较大的灰度改变。而(c)中 经改进后的显式算法仅在边缘处灰度发生变化,平滑区灰度几乎没有变化。这个实验清楚的 表明,改进后的程序实现方法,图像的对比度与原算法相比不会造成太大损失。 (a)含乘性噪声图像 (b)原算法 (c)Ub改进后的算法 图2改进前后的对比度 中国科技论又在线 http:/www.paper.edu.cn (a)lena原图 (b)原算法(-)(c)Lb改进后的算法(-) 图3图像灰度损失对比 模型改进 使用Ub改进后的算法,图像上能清晰地看到显式差分所引起的振动,而原算法是看不 到差分的这种振动的。这是由于显式差分的稳定性不如半隐式和隐式差分那么高造成的。但 在相同的参数λ和下,与显式差分相比,半隐式差分对于噪声的收敛速度比较慢,于是需 要更多的迭代次数,因此会造成比较大的角损失,从而造成图像几何信息丢失,阶梯效应也 -分明显。通常来说,半隐式差分比显式的稳定性高,但这里通过对数学模型进行一个小改 动,也可以使显式差分具有较高的稳定性。方法是在TV模型中加入一个减振系数 2△ 于是原乘性噪声TV模型(14)式变为 (20) 2 对应的能量方程为: 这是因为在(20)式中,差分振动主要由散度项 引起的,改每次迭代的最大灰 度改变量为,则令 mN0-)-2-,为使该式只有唯一解一0,使。-2,其中2一对应着 散度项的最大值。这样当≠0时, 最大改变量= max △ 故迭代过程中灰度的改变无限接近于理想值,而不会超过该点的理想值,这样就不会 生差分的振动,从而使稳定性得到了提高。换句话说,在模型中加入这样一个常数。,而 该值通过差分时迭定的参数Δ和来确定,当Δ=0.01,=0.01时,该值为2。它仅是 比较小的数值,对模型不会产生太大影响,但使该显式差分的稳定性大为提高,实验结果表 明,其稳定性可以与半獠式的高斯-赛德尔迭代不相上下。图4中,对一副不含噪声的大小 为100×100的图像使用模型进行测试,背景灰度值为127,白方块灰度为191,燃色方块灰 度为63。参数Δ-0.01,4=0.01,迭代50次,从(a)叮以看到,在平滑区出现了大量的水波 中国科技论又在线 http:/www.paper.edu.cn 纹样的振动。而(b)由于加入了减振系数,则平滑区没有波纹;图(c)中对原模型采用半隐 式差分也没有波纹。图5中,从(a)可以看出,没加减振系数的TⅤ模型,取图像边缘上的 点(0,10)记录其随迭代的变化曲线,图像边缘的灰度变化是不连续的,呈阶梯状变化的 从(b)可以看出,加了诚振系数之后,边缘灰度的变化是连续的。这也有助于减轻阶梯效应。 图6中,参数为Δ=0.5=001,迭代次数为20次,a)为加了乘性噪声的图像;(b)为RLO 模型使用显式差分的结果,由于此时Δ过大,不满足通常显式差分的稳定性条件,丙此图 像上出现了大量波纹和黑白点(过大的误差);(c)为使用(20)式改进后的模型,此时 =2△/=100,因此噪声被很好地去除,并且稳定性很好。 )原Tⅴ模型显式差分(b)Tⅴ改进模型显式差分(c)原TV模型半隐式差分 冬4对不含噪声图像的达代结昊 (a)原TV模型(0,10)(b)加减振系数的TV模型(0,10) 图5白色方块边缘上一点u(10,10)的灰度变化 (a)含乘性噪声图像(b)原RLO模型显式差分(c)c改进后的模型 图6稳定性对比 该减振系数的原理,也可以应用到其他模型,尤其是存在逆扩散的模型,可使其稳定性 提高,例如PM模型。下面举两个例子来说明。 加入减振系数,(16)式变为 2△ (21) 如果将(16)式与(17)式结合起来,并加入减振系数则得到: 中国科技论又在线 http:/www.paper.edu.cn (vD|[2(7) () 在图7中,Δ=0.01,=0.01,=0.5, Gaussian函数使用3×3模板,迭代120次。 从(a)中看到,由于没有加入减振系数,而(2)式的正则化PM模型具有逆扩散的性质,此时 由于显式差分的不稳定,因此图像上出现许多黑白点(过大的误差)。而(b)由于加入减振 系数,因此显式差分的稳定性大为提高,得出了理想的结果。 (a)(16)式显式差分(b)加入g的正则化PM模型 图7改进后正则化PM模型的显式差分比较 综合试验结果及分析 图8是对前面所述的对含乘性噪声的各种模型和算法的效果总结。以下实验取 Δ=0.01,元=0.01;(a)是用 matlab对lena图加了均值为0,方差为0.04的乘性噪声;(b是 (14)式使用常规显式差分算法迭代50次的效果:(c)是(14)式在Ub显式差分算法下迭代120 次的效果;(d)是(20)式在Ub显式差分算法下迭代120次的效果;(e)是(21)式在Ub显式差分 算法卜迭代120次的效果,=05;(0是(22)式在Ub显式差分算法下迭代120次的效果, 其中1=5,2=0.5;(g)是(14)式在半隐式差分下迭代230次的效果;(h)是(16)式在半隐式差 分下迭代120次的效果,=0.5;(i)是(17)式在半隐式差分下迭代120次的效果。从实验结 果可以看出,Ub改进的算法,对比度几乎没有变化。另外的改进,使得显式差分的稳定 性大为提高,可以与半隐式不相上卜,并且阶梯效应比半隐式少 (a)含乘性噪声图像 (b)RLO模型 (c)Ub下的RLO模型 7 中国科技论又在线 http://www.paper.edu.cn (d)(20)式的结果 (e)(21)式的结果 ((22)式的结果 (g)(14)式的半隐式 (h)(16)式的半隐式 (1)(17)式的半隐式 图8基于TⅤ模型对含乘性噪声图像的去噪算法效果图 总结 本文在分析了常见的基于TV模型并针对加性噪声的一些典型模型的基础上,将其引入 到针对乘性噪声的去噪算法中。通过改进差分实现的算法,使图像在去噪过程中对比度不至 于丢失。在此基础上,通过在正则化项中加入与差分步长△和规整参数2有关的常数g, 使其在使用显式差分实垗时,能达到与半隐式相当的高稳定性。实验结果表明,目使用于存 在逆扩散的模型,该模型也是十分稳定的。这样不仪简化了模型差分实现的难度,发挥了显 式差分的优势,而且在缓解阶梯效应方面也有一定效果。由于本文提出的这两种算法上的改 进,都与具体的模型并不冲突,因此可以很容易地在其他模型上实现。 中国科技论又在线 http://www.paper.edu.cn 参考文献 [1 Aubert G, Kornprobst P Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the [2] Chan T F, Shen J. Image Processing and Analysis: Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods [M]. Siam, Philadelphia, 2006 [3 Rudin L, Osher S, Fatemi E. Nonlinear Total Variation Based Noise Removal Algorithms [J], Physica D, 60:259-268,1992 [4]张艳明,孙玉秋,彭代强.基于全变分的非线形图像去噪研究[门,长江大学学报(自然版)理工卷,2007, 4(1):74-76 [5 Chan T, Esedoglu S, Park F et al. Total Variation Image Restoration: Overview and Recent Developments [A] Paragios N, Chen Y and Faugeras O Editors: Handbook of Mathematical Models in Computer Vision [C], 17-31,2006 [6 Perona P, Malik J. Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12(7): 629-639, July 1990 [7 Catte F, Lions P L, Morel J M, et al. Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion [j] SIAM J Numer. 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Another side, by adding constant Ce in regularized term, the stability of explicit difference scheme is more improved. It predigest implementing of model and improve algorithm speed and reduce staircase effect, The validity of algorithms are proved by experiment results TV method, Multiplicative noise, Contrast, Staircase effect, Explicit difference scheme 作者简介 何磊(1975-),男,硕士研究生,主要硏究方向为图像处理,虚拟现实技术 潘振宽(1966-),男,博士,教授,主要研究方向为图像处理,虚拟现实技术,动力学与 控制等; 魏伟波(1981-),男,博士,讲师,主要研究方向为目标识别,图像处理等。

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