数字水印技术是信息隐藏的一个重要分支，它主要研究如何在多媒体数据中嵌入秘密信息，以此来证明内容的版权、完整性和起源。数字水印算法必须在不影响宿主媒体（如图像、音频和视频等）质量的前提下，保证水印信息的隐蔽性和鲁棒性，使其能抵抗各种有意或无意的信号处理操作，如压缩、滤波、噪声污染、几何变换等。
现有的数字水印技术在抵抗几何变换攻击方面存在一定的不足，尤其是仿射变换。仿射变换是一种线性变换，它包含了旋转、平移和缩放等操作的组合。在图像处理中，若水印算法不能有效抵抗这些几何变换，水印信息很容易因为图像的变化而失效。
针对这一问题，本文提出的改进水印算法基于图像矩和傅立叶-梅林变换（Fourier-Mellin Transform, FMT）。图像矩是几何形状描述的一种方式，通过计算图像区域的矩可以得到其特征量，如重心、方向、形状特性等。图像矩的不变性是研究图像不变性的一种手段，它能够描述图像经过平移、旋转和缩放等操作后保持不变的性质。利用图像矩可以估计出图像所经历的几何变换，从而为水印信息的恢复提供参考。
傅立叶-梅林变换是一种将图像从笛卡尔坐标系映射到对数极坐标系的变换方式。FMT结合了傅立叶变换和梅林变换的特点，能够将笛卡尔坐标系中的旋转和缩放变换转换为对数极坐标系中的平移，这样就可以利用傅立叶变换的平移不变性来抵抗图像的旋转和缩放攻击。该变换在图像处理领域中被广泛用于实现旋转、尺度不变性的特征提取和模式识别。
本文的研究重点是如何将图像矩和傅立叶-梅林变换结合起来，以提升数字水印技术在面对仿射变换时的鲁棒性。在算法实现上，研究者们提出了平移不变性和尺度变换与旋转不变性的实现方法。对于平移攻击，利用原始图像的几何矩估计出水印图像所经历的几何变换，并据此对水印图像进行坐标变换来实现平移攻击后的图像恢复。对于旋转和尺度变换，通过应用傅立叶变换的性质，结合对数极坐标系的变换，将图像的旋转和缩放转换为平移，进而利用傅立叶变换抵抗旋转和缩放攻击。
由于传统的LogPolar映射在进行对数极坐标映射和逆映射时存在采样损失，导致水印图像质量下降，研究者们在改进算法中尽量避免使用插值，以减少图像质量的损失。此外，研究者们还对图像几何质心的寻找方法进行了改进，避免使用高复杂度的迭代和穷举搜索方法。
文章通过实验验证了改进算法的有效性，证明其不仅能获得良好的图像视觉效果，而且对于几何攻击具有很强的鲁棒性。该算法能够有效地抵抗仿射变换，改善了数字水印在几何变换攻击下的鲁棒性，为数字水印技术的发展提供了新的思路和解决方案。
