数值求积是数学分析中的一个重要分支，它主要研究如何通过有限步运算近似计算定积分的值。数值求积方法的准确性对于后续的数值模拟与工程计算有着直接影响。本文所探讨的则是数值求积在特定测度下的平均误差问题。
等距节点是指在积分区间内均匀分布的离散点。基于等距节点的数值求积公式有多种形式，其中最经典的是梯形公式、辛普森公式等。这些方法通过在等距节点上取样函数值并赋予适当的权系数，来进行积分的近似计算。
Brownian桥测度（Brownian bridge measure）是概率论中的一个重要概念，它是布朗运动的一种条件版本。具体而言，布朗桥测度涉及的随机过程在时间的起始点和结束点取固定值。它是连续时间随机过程的一个特例，经常用于金融数学中，例如在计算衍生金融产品的定价时。
本文的主要内容集中在计算基于等距节点的数值求积公式在Brownian桥测度下的平均误差。这种平均误差通常是指使用特定的数值求积方法来近似计算定积分时所产生的误差的平均值。在数学上，这种平均误差可以用积分的形式来表达，形式上定义为将所有可能误差的p次方的积分，再开p次方。
在引言部分，作者首先引入了集合F和G，以及定义在F上的概率测度ω。这里，F通常为函数空间，而G为一个范数为1.11的线性赋范空间。S作为解算子，N作为信息算子，φ作为算法，它们共同作用于逼近问题的研究。作者提到，对于逼近和积分问题在平均情形下的误差分析已有大量研究，但大多数研究所使用的逼近方法都是样条函数逼近。作者强调了多项式插值在数值计算中的重要性，并指出将考虑相应的数值求积公式的平均误差。
具体到本文研究的问题，设F为满足f(0)=0的2π-周期连续函数f组成的线性空间，并赋予上确界范数。此时，积分算子S(f)被定义为f在区间[0, 2π]上的积分。基于等距节点的数值求积公式In(f)被定义为对f在这些等距节点上的函数值进行求和。文中还给出了对应的求积公式的具体实现方法，并计算出了其准确值。
Brownian桥测度ω被定义为零平均高斯测度，并给出了其协方差核的具体形式。利用这个协方差核，作者进一步推导了所研究的数值求积公式在Brownian桥测度下的平均误差，得到了相应的误差表达式。
在研究中，作者使用了p-平均误差的定义，这是一种衡量数值方法逼近真实值准确性的方式。具体而言，当p取值在1到无穷大之间时，可以通过计算误差的p次方的积分并开p次方，来得到平均误差。此定义在数学上有助于统一不同的误差衡量方法，并为误差分析提供了一种综合性的衡量标准。
本文在研究数值求积公式在Brownian桥测度下的平均误差时，不仅给出了平均误差的准确值，还为如何进一步研究此类问题提供了方法上的指导。文中涉及的数学工具包括范数空间、线性赋范空间、高斯测度、协方差函数等，这些都是现代数学分析和概率论领域中常用的工具。
作者提供了他们自己的信息：刘洋是一位硕士生，主要从事计算数学研究；许贵桥是一位教授、博士，主要研究函数逼近论。作者所属的天津师范大学数学学院为本项研究的开展提供了学术支持。这项研究的成果发表于井冈山大学学报（自然科学版），这是一本中国地方性大学自然科学领域的学术刊物。
