高等代数是数学中的一门重要分支，它主要研究多项式、行列式、线性空间以及线性变换等抽象的代数结构。在这篇发表于1993年的文章中，作者毛禹淑深入探讨了高等代数中的一些反例，这些反例有助于理解和应用高等代数中的定理和命题，并能够纠正一些可能产生的直觉上的误解。
文章中首先提到的反例涉及多项式理论，指出在高等代数中，不可约多项式在分解过程中起着基础作用。一个反例说明了，如果多项式的不可约性质没有得到保证，那么会出现错误的结论。例如，如果一个多项式p(x)在某个环中既除尽f(x)也除尽g(x)，并不能保证p(x)能除尽这两个多项式的任意组合。
文章继续探讨了多项式理论中的最大公因式问题，指出即使两个多项式能够表示成两个多项式U(X)和V(X)的线性组合，它们的乘积也未必是这两个多项式的最大公因式。此外，文章中也提到了不可约多项式是多项式导数的因子时，原多项式不一定能够被该不可约多项式整除的问题。
文章还涉及了本原多项式的概念，本原多项式指的是在系数为有理数的多项式中，其系数的最大公约数为1的情况。然而，文章中通过反例说明了，本原多项式并不一定是不可约的，因为它们可能会进一步分解为更简单的多项式的乘积。
文章还探讨了在多项式中系数为整数和有理数的情况下，整系数多项式和有理系数多项式的乘积问题。例如，一个整系数多项式和有理系数多项式的乘积，结果不一定是整系数的多项式，除非有理系数多项式本身是本原的。
在高等代数中，多项式是否在有理数域中可约的问题也得到了关注。文章中用艾森斯坦因判别法来说明，存在一种素数p使得多项式在有理数域中不可约，但是如果找不到这样的素数，就无法判断该多项式的可约性。
除了多项式的相关反例，文章还探讨了矩阵理论中的反例。例如，两个非零矩阵的乘积为单位矩阵，并不意味着这两个矩阵一定可以交换。此外，两个非零矩阵的乘积也不一定是非零矩阵，这表明矩阵乘法的非零性质并不满足封闭性。
这些反例不仅有助于理解高等代数中各个定理和命题的准确含义，还能够加深学生对数学严谨性的认识。通过对这些反例的学习，学生可以避免在数学证明中过于依赖直觉而忽视逻辑严密性的问题。
总结来说，高等代数作为数学的一个重要分支，其理论和命题的严谨性对于学习者是至关重要的。文章通过对各个反例的列举和分析，不仅指出了理论应用中可能存在的误区，也强调了正确理解和掌握高等代数知识的重要性。通过对反例的深入剖析，学生可以更加深刻地理解高等代数中的概念和原理，从而更加完整和准确地把握数学理论的精髓。
