用同伦分析方法求解一类燃烧模型 (2010年)

在本文中，作者吴钦宽以同伦分析方法求解了一类非线性燃烧模型，该方法涉及利用零阶形变方程和高阶形变方程来求得问题的形式近似解，并证明了解的有效性。此研究为同伦分析方法在求解非线性问题中的应用提供了实证。 研究者提出了一类非线性燃烧模型。这种模型是通过数学方程来描述燃烧过程中物质分布的动态变化。在燃烧模型中，特定参数如扩散效应与反应速度比率被假设很小，同时定义了火焰位置，并用函数u(t)来表示燃料与氧化物的物质份额，其中m和n是正整数。 同伦分析方法是求解非线性问题的有效工具之一。此方法首先构造一个零阶形变方程，以此作为求解过程的起点。零阶形变方程是在原非线性燃烧模型的基础上，通过引入辅助函数H(t)和辅助线性算子来构建的。在嵌入变量q从0到1变化的过程中，通过零阶形变方程能够逐步接近原模型的精确解。在q=0时，解为初始猜测解Uo(t)，而当q=1时，解变为模型的精确解u(t)。 接着，研究者通过泰勒展开定理将解表达成幂级数形式，从而得到问题的形式近似解。这个过程涉及到高阶形变方程的构造，即对零阶形变方程关于嵌入变量q求导k次，并令q=0后除以k!。通过这种方式，可以得到高阶近似解，且每一阶的近似解都是前一阶的改进。 在实际求解时，辅助函数H(t)的选择对于计算的简便性至关重要。在这个燃烧模型的求解过程中，选择了H(t)=t^k的形式，其中k为整数。通过数学软件Mathematica进行符号推导，可以有效地求解出高阶形变方程，并得到该燃烧模型的逐阶近似解。 同伦分析方法的成功应用案例包括非牛顿流体的磁流体动力学、深水中非线性波的传播、自激系统的自由振荡等问题。这些案例表明同伦分析方法对于解决非线性问题具有良好的效果，因此本文的研究不仅为燃烧模型的求解提供了新的解析手段，也进一步丰富了同伦分析方法在实际工程技术问题中的应用案例。 本文的研究成果显示，同伦分析方法在理论和应用层面都有很高的研究价值和实用潜力。通过这种方法，可以将复杂的非线性问题简化为一系列可以逐步求解的方程，从而得到问题的近似解，这为求解其他复杂的非线性问题提供了新的思路和方法。此外，该文的研究也为燃烧模型的研究领域，包括燃料与氧化物的反应动态，提供了理论参考和实用的解析工具。