带时滞的Watt型食饵-捕食系统的定性分析 (2009年)

本文研究了带有时滞的Watt型食饵-捕食系统，这类系统在生物动力学领域具有重要意义。作者刁鼎力在温州大学数学与信息科学学院进行研究，探讨了该系统在正平衡点的稳定性，并证明了在特定时滞参量值下，系统会经历Hopf分岔，数值模拟结果进一步支持了这一结论。 食饵-捕食系统是生物动力学模型的一部分，用于模拟捕食者与食饵之间的相互作用和种群动态。Watt型食饵-捕食系统是指采用Watt函数作为功能反应函数的模型，而功能反应函数描述了捕食者捕食食饵的速率。本研究中的Watt型食饵-捕食系统表达式包含了时间t的函数x(t)和y(t)，分别代表食饵和捕食者在某一时刻的种群密度，参数r、a、b和d分别对应于食饵的内禀增长率、单位时间内食饵被捕食的最大数量、捕食者的转化率和死亡率。 时滞因素是指系统中某些变量的当前状态依赖于过去某一时刻的状态，这样的系统被称为动态系统。时滞在生态系统的动态模拟中是一个重要的因素，因为它可以模拟环境变化或种群反应的延迟效应。时滞的存在可能会导致系统稳定性变化，甚至出现分岔现象。分岔指的是当系统参数发生改变时，系统的行为或状态会发生质的转变，Hopf分岔是一种重要的局部分岔类型，它通常与周期解的产生相关联。 在本文中，作者通过数学分析和计算，研究了时滞对Watt型食饵-捕食系统稳定性的影响，并在特定条件下证明了Hopf分岔的存在。研究表明，当系统的某些时滞参量达到临界值时，系统会从一个稳定的平衡状态转变为一个振荡状态。这种振荡状态可能会随时间推移出现周期性的波动。 通过数学建模和数值模拟，本文提出了系统在第一象限存在正平衡点的条件，并分析了该平衡点的稳定性。在平衡点的稳定性分析中，通常考虑系统的雅可比矩阵（Jacobian matrix），该矩阵由系统所有变量的一阶偏导数组成。通过对雅可比矩阵的特征值分析，可以判断平衡点的稳定性。当特征值的实部均为负时，平衡点是稳定的；如果至少有一个特征值的实部为正，则平衡点是不稳定的。 本文还讨论了时滞如何影响系统行为，指出在某些时滞值下，系统可能会失稳，导致分岔现象，甚至出现混沌现象。混沌现象是指在确定性的动力学系统中，系统行为的长期预测变得不可能，尽管系统的行为完全由物理定律决定。 刁鼎力的研究为理解具有时滞的食饵-捕食系统动态提供了重要的理论基础，指出了时滞如何影响种群的稳定性和复杂性，并为生态系统管理提供了数学上的见解和工具。该研究成果不仅在理论上有重要的意义，也对实际生态系统的保护和资源管理具有潜在的应用价值。