论文研究-考虑标度的加型一致性模糊判断矩阵的排序方法.pdf

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论文研究-考虑标度的加型一致性模糊判断矩阵的排序方法.pdf,  通过实例说明相关文献中加型一致性模糊判断矩阵排序方法的参数取值存在的问题,分析出该问题是由于其公式证明中没有区分标度导致的,指出其结论适用于0~1标度的加型一致性模糊判断矩阵.然后,重新证明了0.1~0.9标度下的加型一致性模糊判决矩阵的排序方法和相关结论.最后,定义了广义模糊标度,并给出广义模糊标度下加型一致性模糊判断矩阵的排序方法和相关结论,使得相关文献中排序方法和相关结论实现形式上的统一.
1838 系统工程理论与实践 第38卷 由上面的分析可以得知,标度的不同会影响到权重公式中的参数取值.但文献8,9中并没有将标度作 严格区分而是默认模糊判断矩阵为0~1标度,从而推导出参数a≥"2,因此文献8,⑨中的相关结论是 关于0~1标度的但是例1中的模糊判断矩阵采用的是01~0.9标度,故而将参数取值为a≥"2,并将 其用于权重公式并不合适,从而才会出现当参数a=0.8时,排序公式仍然可以使用的情况.因此,应该针对 不同的标度分别讨论排序公式的计算,才不会出现例1中的情况. 40.1~0.9标度下加型一致性模糊判断矩阵的排序方法 如未作说明,以下涉及的矩阵均指标度为0,1~0.9的模糊互补判断矩阵. 定理1设R=()mn为模糊判断矩阵,则0.1(-1)+0.5≤∑h=1Tk≤0.9(7-1)+0.5 定理2设R=(r;)mn为模糊判断矩阵,则R为加型一致性模糊判淅矩阵当且仅当,存在π阶非负归 一化向量=(1,2,…,n)以及正数a,使得w=1,2,…,m,有r;=a(n2-)+0.5 证明(充分性)与文献⑧定理23证明相同 (必要性)设R为加型一致性模糊判断矩阵,取定c≥3(n-1).c的归一化证明与文献8定理23中 相同,这里仅需证明2的非负性 令=1-2+nCk=1i,由0.1(m-1)+0.≤∑k=1Tk可知,wn≥是-x+n(0.1(7-1)+0. 52(n-1).×知a≥(n-1),则1≥35n22==0 定理3设模糊判断矩阵B=(;)mn中元素与其权重满足关系式ry=a(v"z-w)+0.5,则其权重必 然由02=1-+n>k=1k给出 定理4设R=(r)m为加型一致性模糊判断矩阵,则其权重可=1-24+n∑k=17k计算 定理5设R=(r)mn为模糊判断矩阵,ω=(ω,ω2,……,tn)r由最小二乘法确定,即它是下面非线性 规划问题的解 min 2 ∑∑0.5 )-r,2,st.∑m2=1.0n0.=1,2, 2=1 那么仍有 k-1 Tik 证明与文献⑧定理33相同 定理6设R=()m为模糊判断矩阵,若其非负归一化权重向量可由m2=-2-+m∑h=17计 算,则参数a必须满是a>3(m-1) 证明见文中第3部分问题分析 定理7设R=(7;)n为模糊判断矩阵.若其权重向量满足关系式r;=a(v;-)+0.5),则R中任 意两个元素的权重之差与参数a成反比,且-n≤2-0≤a 证明由T=a(2-0+0.5)可知,m02-m1=(rx-0.5),即m2-1与参数a成反比 由于0.1≤7≤0.9.从而有-04≤7-0.5≤0.4即|-0.5≤04.同时考虑到n≥(n-1),故 而有|2-=-0.51≤201×04=ax 定理8设A=(a)m为模糊判断矩阵,令7:=∑1=1,1=1,2,…m并作如下变换m=20m+ 0.5,,=1,2,…,n,得到加型一致性模糊判断矩阵R=(r)mn,则由R的元素r与权重w的关系式 ry=a(02-2y+0.5),求得的权重向量=(0,,…,n)满足=-(mn-1+m(∑k=1h 2,…,m,其中参数a≥3(7-1) 证明与文[9中定理1证明相同 5广义标度下加型一致性模糊判断矩阵的排序方法 下面将θ~1标度、0.1~0.9五标度以及0.1~0.9九标度这三种模糊标度进行推广,并根据它们的特 征给出广义模糊标度的定义.然后,给岀广义模糊标度下的模糊判断矩阵的排序方法和相关结论,使得文献 79和文中基于0.1~0.9五标度的相关结果成为其特例 定义6广义模糊标度定义如下 第7期 刘卫锋,等:考虑标度的加型一致性模糊判断矩阵的排序方法 1839 设0.5表示甲元素与乙元素同样重要,0.5+6,=1,2,…,t分别表示甲元素比乙元素重要的程度,并 且0.5+6越大,表明甲元素比乙元素重要的程度越大;0.5-6,i=1,2,…,t分别表示甲元素不比乙元素 重要的程度,并且0.5-δ越小,表明甲元素比乙元素不重要的程度越大,其中δ;∈[0,0.5],2=1,2,…,t且 2<…≤δ 显然,广义模糊标度中有2+1个标度值,且0.5±δ;∈0,1],讠-1,2,…,t 定理9由广义模糊标度给出判断矩阵B-(7;)n具有下面性质:1)m-0.5;2)m+rn-1. 显然由广义模糊标度给出判断矩阵R=()nm为模糊判断矩阵 注1当l=1,61=0.5时,广义模糊标度即为0~1三标度 当t=4,61=0.1,62=0.2,63=0.3,64=0.4时,广义模糊标度即为0.1~0.9五标度; t=4,61=0.061,02=0.175,63=0.362,64=0.4时,广义模糊标度即为0.1~0.9九标度 注2将广义模糊标度中的2t+1个标度值0.5,0.5+6,i=1,2,…,t称为原标度,其作用主要是决策 者建立模糊判断矩阵时使用.考虑到部分文献中在求解权重向量时,往往对模湖判断矩阵作数学变化得到 致性模糊判断矩阵,比如文献间中作了数学变化r=2m+0.5此时一般不再取值为050.5+6, i=1,2,…,t,但r∈[0.5-0,0.5+6,为此我们不妨称r为原标度的派生标度 为了便于论述,我们将原标度的最大值0.5+δ和最小值0.5-6分别记为M0,m0.然后,在广义模糊 标度下,给出模糊判断矩阵的排序方法和相关结论, 定理10设R=(rz)m为模糊判断矩阵,则mo(m-1)+0.5≤∑k=1Tik≤M0(7-1)+0.5 定理11设R=(r)mn为模糊判断矩阵,则B为加型一致性模糊判断矩阵当且仅当,存在π阶非负归 一化向量=(1,2,…,wn)以及正数a,使得ⅵ=1,2,…,m,有rx=a(0l2-0)+0.5 证明(充分性)与文献8定理23证明相同 (必要性)设R为加型一致性模糊判断矩阵,取定a≥(0.5-m0)(m-1).u2的归一化证明与文献⑧8定 理23中相同,这里仅需证明v2的非负性 令m=-+九∑k=1,由m0(n-1)+0.5≤∑k=17可知,w2≥-+mo(n-1)+0, 2a+(2m0-1)(7-1) 又知a>(0.5-m)(7-1),则z> 2(0.5-m0)(n-1)+(2m0-1)(-1) 2no 0. 定理12设模糊判断矩阵R=(r)灬n中元索与其权重满足关系式r;=α(u;-wy)+0.5,则其权重必 然由;=1-+∑=17k给出 定理13设R=(r;)m为加型一致性模糊判断矩阵,则其权重可由=-2+m∑k=17计算 定理14设R=(r)mn为模糊判断矩阵,=(mn1,w2,…,n)由最小二乘法确定,即它是下面非线性 规划问题的解 min 2 ∑∑0.5+a(m2-my)-2,st.∑m=1.m≥0 1.2 那么仍有 证明与文献定理33相同 定理15设R=(r)n为模糊判断矩阵,若其非负归一化权重向量可由=-如+m∑h=1Th 计算,则参数a必须满足a≥(0.5-m0)(mn-1) 证明由权重的非负性可知,w=-2+m∑k=1rk≥0,即有(∑k=1Tik-)≥是,从前有 a≥-∑k=17计,由于R=()mn为模糊判断矩阵,故有m0(m-1)+0.5≤∑k=1Tik≤M0(m-1)+0.5, 于是有a≥maN k=1T}=号一[m0(n-1)+0.=(0.5-mo)n+(mo0-0.5)=(0.5-mo)(n-1) 定理16设R=(m)m为模糊判断矩阵,若其权重向量满足关系式m=a(4-0+0.5),则R中任 意两个元素的权重之差与参数a成反比,且-n≤w1-0≤n1 证明由71=a(2-+0.5)可知,2-m,=4(72-0.5),即t2-c,与参数a成反比 由于m0≤r≤M0,从前有mo-0.5≤r-0.5≤M0-0.5,考虑到m+M0=1,则有m0-0.5≤ -0.5≤0.5-m0,即x-0.,≤0.5-m0.同时考虑到a>(0.5-m0)(n-1),故有|v2-v ar-051≤m m7-×(0.5-mo) 1840 系统工程理论与实践 第38卷 定理17设A=(ay)m为模糊判断矩阵令n==1n,=1,2,…,n,并作如下变换n=mm-+ 0.5,3,=1,2,…,n,得到加型一致性模粉判断矩阵R=(rx)mn,则山B的元素ry与权重o的关系式 r=a(-2+0.5),求得的权重向量=(,2,…,00)满足=h-a(m-1+a0(k k-1 ih 1,2,…,n,其中参数a≥(0.5-m0)(n-1 证明与文献[9中定理1证明相同 注3当m,Mo分别0,1和0.1.0.9,即模糊判断矩阵分别为0~1标度和0.1~0.9标度时,定理10 定理17分别退化为文献8,9中相关结论和文中定理1~8 下面讨论广义模糊标度下排序向量的性质 定理18设A=(α,)m为模糊判断矩阵,则其排序向量是强条件下保序的,其中 74a(m-1)2a(m-1) ∑k,=1,2…,m,≥0.5-m0(m-1) 证明设=(01,U2,…,tn)是模糊判斷矩阵A=(an)mn的排序向量,则有 1 vik:乙 n-4a(n-1)+2a(n C 4a(n-1)2a(m 若对于k=1,2,…m,有a1k≥a,则有vx,的表达式可知w;≥wy又所有等式ai=a;k (k=1,2,…,m)成立时显然有=0y.因此,排序向量是强条件下保序的 定理19模糊判断矩阵A=(az)n是序传递的,即若α≥0.5,则有v:≥w;若ω=0.5,则或者 2≥y,或者≤ 6结语 通过分析计算实例说明了,标度的不同对模糊判断矩阵的排序公式参数取值范围有着很大的影响.然 后,讨论了0.1~0.9标度下加型一致性模糊判断矩阵的排序方法及其相关结论.最后,综合考虑到0~1和 0.1~0.9标度的共同特征,定义了广义模糊标度,并硏究了广义模糊标度下的模糊判断矩阵的排序方法和相 关的结论.实现了文献[79中排序方法和相关结论形式上的统一.文中研究结果理清了不同标度下的加型 致性模糊判断矩阵的排序方法,丰富和发展了模糊判断矩阵排序理论和方法 参考文献 1]王莲芬,许树柏.层次分析法引论M.北京:中国人民大学出版社,1990 Wang L F, Xu S B. 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