论文研究-基于跳跃时间和幅度的BDI指数波动幂律分布特性研究.pdf

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论文研究-基于跳跃时间和幅度的BDI指数波动幂律分布特性研究.pdf,  BDI指数是国际航运市场的风向标,摸清BDI指数波动幂律分布特性,对于进一步掌握运费规律、预测BDI趋势、协助航运决策等方面具有重要意义.基于此,本文对已运行30年BDI指数的波动幂律分布特性进行了详细研究,主要特色有:一是借助Pareto、Exponential以及Fokker-Planck函数首次深入探讨了BDI指
第3期 余方平,等:基于跳跃时间和幅度的BDI指数波动幂律分布特性研究 等研究指岀BDⅠ指数时变波动误差项呈现肥尾特征,说明BDI指数更新过程中也冇在显著幂律特性.在此, 我们首先假设X是整个BDI指数样本空间,Xt是第t日(周或月)BDI指数点数时间序列,xt表示第t日 (周或月)的BDI指数增长率,由下式得到 X 在这里,BDI指数增长率时间序列{xt}主要是采用其对数差模式.在下面幂律分析中,xt大于0和小 于0的两种情形都予以考虑 在一定时期内,BDI指数增长率均值、标准差∂、峰度和偏度k分别为(4: ∑x/(+1) ∑t=0(xt-)2 T To3 To 式(4)中偏度参数值小于0表明存在左长尾效应;等于0表明对称分布;大于0表明存在右长尾效应式 (5〕中峰度k参数值小于3表明存在尖峰敚应;等于0表明不存在尖峰效应;大于3表明存在尖峰效应 21主要幂律函数简介 在极限条件下,尾部分布都可以用幂律函数近似.首先,本文假设尾部的临界跳跃识别点为xmn(下文将 给与确定).其次,为深入探讨BDI指数波动幂律特征,本文主要选取了三种具有典型代表的尾部幂律函数 分别简介如下: 1) Pareto厚尾幂律函数 Danielsson和 Vries25指出在极限条件下,所有厚尾分布的尾部都可用幂函数近似,尾部增长率分布可 近似表示为F(x)=1-L(x)x-o,由于L(x)是一个慢变化函数,可用一个常数近似地代替,即满足{|x+|> xm}条件的尾部分布函数可表述为2 F(x)=1 .℃ >0.a>0 其中,a为尺度参数;a为尾部指数;|xce和xim分别表示BDI指数增长率的绝对值和临界跳跃点 其尾部穊率密度函数形式为 f(a)=aar (a>0,a>0) 其中,参数含义同上式(6)是最常见用于描述幂律特征函数,广泛用于测度各种时间序列的幂律特性,式(6) 也是简化的 Pareto分布函数.因此在这里,我们称之为 Pareto厚尾函数. Pareto幂律分布函数尾部参数a 越小、尾部就越厚;反之尾部就越薄 2) Exponential轻尾幂律函数 现实中有些序列的尾部不具有厚尾的性质,因此不能用厚尾函数来描述,不过能用轻尾分布来很好地刻 画指数型函数是轻尾分布的代表,对于满足{x4|>a1n条件的指数型尾部分布可表示为27 F(x)=1-be-(b>0,X>0) 其中、b为尺度参数;λ为尾部指数.相应的尾部概率密度函数形式为 f(x)=b入eA(b>0,入>0) 其中,参数含义同上.式(8)在这里称为 Exponential轻尾分布函数. Exponential幂律分布函数尾部参数 λ越小,尾部就越厚;反之尾部就越薄. Exponential函数是基于 Poisson过程,而 Poisson过程假设时间序 列历史上的波动情况与现在的波动情况无关,所以 Exponential函数也默认时间序列每个时点的波动都不相 [28] 610 系统工程理论与实践 第37卷 3) Fokker-Planck混合幂律函数 Fokkcr-Planck也是幂律特性的典型函数,满足{|x1|>x;an}条件的 Fokkcr-Planck分布函数为29 F(a dy(c>0.3>0,>0)(10) 其中c为尺度参数;β、γ为尾部指数.其概率密度函数为: Pareto函数 f(a)=c-e-/n(e>0,B>0,y>0) (11) Fokker- Planck函数 指数函数 参数含义同上.当尾部指数→+∞时, Fokker-Planck函 数就会转化为典型的 Pareto函数 2.2幂律特征检验模型构建 BDⅠ指数波动幂律特征存在跳跃时间标度和跳跃幅度 标度即无论从时间还是幅度角度BDI指数都存在波动聚 图1三种幂律概率密度函数 集效应.因此,本文对其两个标度分别深入分析 1)跳跃识别 在这里,首先要识别跳跃点xn,本文选取应用最广泛的区间跳跃判别方法,其跳跃判别指示函数为80 {xt[-丌,定+丌]} 其中,{!}表示带跳的新组成的BDI指数增长率时间序列,丌表示识别跳跃程度参数,本文为方便计,采用 1、2、…等正整数衡量(当然,这里也可以用双侧置信水平95%、99%等、对应丌=1.906、2.35来代替,但 本质上无风别)式(12)含义表示如果BDI指数增长率xt处于区间[xan=t-m,xtn=+丌G]那么该 BDI指数增长率x没有发生跳跃,反之,则发生了跳跃.进一步的,向上或向下跳跃判别指示函数如下 It>i-TC] 13 =1{xt<-ra} (14) 其中,{+}和{}表示向上和向下跳跃新BDI指数增长率时间序列 跳跃时间标度 具体步骤如下:首先,确定新BDI指数增长率跳跃时间序列{p}、{y+}和{y}对应的等待时间 即每两次跳跃之间的等待时间lx=l2+1-l1)频数,并转换成等待跳跃时间lx发生跳跃频率∫(x).其次, 利用式(7)、式(9)和式(11)对跳跃时间标度的幂律特征进行检验.本文采用lln对数化三种幂律分布函 数,并运用线性最小二乘法来什计,对应得到跳跃π情形下的三种幂律分布函数线性检验模型: 对于 Pareto函数 In f(t'r) T-(arT+1Inty+ (15 n (16 , T ,T 丌,T f(tT 其中lnf(tnr)、mnf(t)、nf(tn)表示对数化的等待跳时间频率、向上和向卜跳等待时间频率;tr、 、tn7分别为等待跳跃时间、向上和向下等待跳跃时间;参数anx>0,a.r>0.,an+>0,an+>0, an>0,a,7>0;c∈、cn+、cnr为对应的误差项 对于 Exponential函数 In f(td r)=Inby+InA J 入,lntn,+ J lnf(tr)=lnb+1n入-入lntm++cn (19) 其中,参数bny>0,Ax>0,b+>0,)>0,b17>0,x>0,其他变量和参数含义同上 第3期 余方平,等:基于跳跃时间和幅度的BDI指数波动幂律分布特性研究 611 对于 Fokker-planck函数 21) J+ J+/+J+ + 22) T T 其中,参数cn,r>0,r>0,7my>0,cn+>0,Bx+>0 0, 0;其他变 量和参数含义同上 3)跳跃幅度标度 具体步骤如下:首先,依据上面新BDI指数增长率向上和向下跳跃时问序列{y+}和{y.}分档本 文将向上、向下跳跃幅度都分成L档,记xMax、xMi,那么向上跳跃点处于档次的计算公式为 (+ L (24) (+丌 同样的,对于向下跳跃点处于档次的计算公式为 (-丌G) (a-丌G (25) 式(24)和式(25)含义是跳跃幅度向下取整.通过式(24)和式(25)得到BDI指数增长率向上和向下跳 跃幅度新序列{y+}和{y} 其次,利用式(7)式(9)和式(11)对跳跃幅度标度的幂律特征进行检验.这里仍旧采用ln-n对数化三 种幂律分布函数,并运用线性最小二乘法来估计,对应得到跳跃程度π情况下的三种幂律分布函数线性检验 模型 L +In a 丌,L (an,+1)lntr+∈n, lnan.-(an+1)lntm乙+ (2 其中,1nf(lm)、lnf(l)表示对数化的向上和向下跳跃幅度;l、L分别为向上和向下跳跃幅度;参数 an>0,an.>0,an.,an.L>0.-n,n为对应的误差项 对于 Exponential函数: f(,)=1nbn+1m1-入mm,+ 28) f(l.乙)=1nb.+lnM L丌,L + 其中参数b>0,从>0,b元>0,入元>0,其他变量和参数含义同上 对于 Fokker- Planck函数 In f(ITL) J+/1J7+ J+ Inf(-)=Inc r-B In -nL/1r +E/ 其中,参数cn>0,B.>0.n.>0,cn.>0,Bn>0,>0;其他变量利参数含义同上 借助以上幂律跳跃线性测算模型,我们可以得到BυⅠ拮数増长礻尾鄙特征,也可以得到波动集聚性.值 得注意的是,尽管文献27]讨论了线性最小二乘法容易导致尾部参数估计有偏、尤其是数据样本少的情况, 但本文仍旧采用这种简单直接线性最小二乘法来估计,另外本研究BDI数据样本量基本上能支持线性最小 二乘法偏差尽可能小. 3BDⅠ基本性质检验 31数据采集 BDⅠ指数前身为波罗的海航交所于1985年1月4日开始发布日运价指数BFI( Baltic freight index 国际航运指数,该指数是由若干条传统干散货船航线的运价.按照各自在阬运市场上的重要程度和所占比重 构成的综合性指数.指数设立时1000点,由13条航线的程租运价构成,其运输货物以谷物、煤、矿砂、磷 矿石、铝矾为主.1999年9月1日,波罗的海交易所将原来反映巴拿马极限型船( Panamax)和海岬型船 ( Capesize)的BFI指数拆解成BCI( Baltic Capesize Index)和BPI( Baltic panamax index)两个指数,与轻 612 系统工程理论与实践 第37卷 便极限型船船运价指数BHMI( Baltic Handymax Index)共同组成三大船型运价指数.199年11月1日, 以BCI、BPI、BH各三分之一权重产生的BDI取代BFI,山美、英、挪威、意大利和日本20家大型中介商 对对数条重要航线,依其每日运价所编制,为目前市场上最具代表性之散装航运运价的晴雨指标 近三|多年来,受世界经济、国际地缘政治、航运市场供需关系等因素影响,BDⅠ指数从1985年初设立 时1000点开始,经2008年中最高点11689点,又在2014年年未跌到782点,强烈地表明全球干散货航运 市场具有显著波动性.进入21世纪后,随着互联网和科技快速发展、全球产业结构转型升级、船舶建造能力 更新换代(如交船期缩短至1年)等,导致了BDI指数振嗝和波动进一步加大 本文采集BDI从1/4/1985到12/24/2014共7529个交易日、1550周、360月的点数为样本,1/4/1985 10/29/1990期间用BFI指数代替BDI指数,11/1/199912/24/2014期间为BDⅠ指数数据其中,周BDI指 数和月BDI指数都为当期内日BDI指数点位的平均值.BDI数据来源克拉克松网站(https://sin.clarksons.net BDI指数走势见图2. 14000 12000 10000 8000 00 2000 0 小少、 图21/4/1985-12/24/2014BDⅠ指数日走势 32描述性统计量 根据公式(1)将BDI指数处理成BDⅠ指数增长率序列,根据公式(2)~(4),得到BDI指数日、周和月 增长率描述性统计量,见表1.同时,对BDI指数日、周和月增长率实际概率分布用图进行了更形象地描述 详见图3 由表1和图3,时间序列并不服从正态分布,无论是BDI指数增长率日数据还是周数据,都存在很明显 的尖峰和偏向现象.从BDI指数增长率日数据米看,其峰度达到了10.854,偏度0.014.从BDI指数增长 率周数据来看,其峰度达到了9.247,偏度一0.541.从BDⅠ指数増长率月数据来看,其峰度达到了8.820,偏度 1.025.说明BDⅠ指数增长率存在明显的尖峰现象.周和月数据存在左偏,而日交易数据则呈现出对称现象 表1BDI指数增长率描述性统计量 周期最小值Man最大值Max均值α标准差G峰度s偏度k 日 12072% 13.658% 3.266E-51.467%10.8540.014 周 47.359% 37.339%-15.38E-55.490%9.247-0.541 月 101.220% 69.646% 20.643E-515.361%8.820-1.025 H动率 厍动率 图3BDI指数日、周和月增长率概率分布 4实证分析 41跳跃识别 分析BDI指数增长率尾部幂律特征,先须根据式(12)~(14)得到跳跃点.在这里,识别跳跃程度参数π 取值1、2和3三种情形,BDI指数日、周和月增长率的跳跃点详见表2和图4 第3期 余方平,等:基于跳跃时间和幅度的BDI指数波动幂律分布特性研究 613 表2BDI指数增长率跳跃点 周期 跳跃点 区间 -1.470%.1.463%[-2936%,2.930%[-4.403%,4396%] 向上 1463% 2930% 4.396% 向下 -1.470% 2936 4.403% 区间 5.506%,5.475%[-10.996%,10.966%[-16.487%,16.456% 周 向上 5.475% 10.966% 16.456% 向下 5.506% -10.996% 16.487% 区间 [-15.382%,15.340%[-30.74:3%,0.702%][-46.104%,4606:3%] 月 向上 15340% 30702% 46.063 向下 15382% 30.743% 46.104% 日=1◆日x=2口日z=3▲ 0 手排非 1°… 周x=1◆周x2口局m=3為 命◆命 月x1◆月x=2口月z= g岂吕日曾 图4BDⅠ指数日、周和月增长率的真实过程跳跃序列 从表2和图4可以看出,BDI指数日、周和月增长率识别的向上、向下跳跃点基本对称 BDI指数增长率时间序列对BDI指数增长玄跳跃更新过程.蕴含在经过一定的等待时间后发生跳跃的 概率较小,而每两次跳跃的问隔时间则更加倾向于某一段时问的假设 比照上述跳跃点我们可以分离得到跳跃程度参数π=1、2和3三种情形下的跳跃样本新序列{Pl}、{φ+} 和{φ},其跳跃数据样本量统计情况见表3 从表3可以看出,当跳跃程度参数取值不同时,BDⅠ指数日、周和月增长率跳跃数据样本量分别变化较 大.同时,向上、向下跳跃的样本量都比较平均.另外,值得注意是,表3中,BDⅠ指数周增长率数据在跳跃 程度参数丌=3数据样本量仅26个,BD指数月增长率数据在跳跃程度参数π=2和3时样本量分别19个 和6个,样本量过小不太适合参数估计,因此下文中也不进行讨论 表3BDI指数增长率跳跃点样本数据量 周期 跳跃点 丌= 区间 1002N (17293%) 432(5.738%) 148(1.966%) 日数据 向上 655 218 74 向下 647 214 74 区间 282(18.194%) 96(6.194‰) 26(1.677%) 周数据 向上 向下 51 区间 69(19.167%) 19(5.278%) 6(1.667%) 月数据 向上 36 向下 12 4 注:0中百分比为跳跃点数与样本总量的比例 614 系统工程理论与实践 第37卷 42跳跃时间的幂律特征分析 根据式(15)~(23) Pareto、 Exponential和 Fokker-Planck函数,对分离得到跳跃程度参数丌=1、2和3 三种情形下的跳跃样本新序列{}{y+}和{h},按照选择最优截取数据时采用的是R2值最大原则 我们得到了BD指数日、周和月增长率跳跃时间的幂律特征参数估计值,详见表4. 表4BDI指数增长率跳跃时间概率分布的参数估计 周期跳跃幅度 Pareto函数 Exponential函数 Fokker- Planck函数 aTt Q丌,T Cr T 0.0362.1800.7760.3820.010 0.2360.0150.6514.3690.871 (0.00)(0.000) (0.000)(0.000 (0.000)(0.000(0.00) 0.258 0.6840.7280.007 0.2220.0110.4034.2260.824 丌=1+ (0.00) (0.00000.00) (000)(0.000.000 0.321 0.6681.3840.003 0.1350.0090.3524.4360.837 (00000(0.000(0.000) 0.402 0.6112.9670.002 0.0940.0090.2764.6320.825 (0.000) (0.000)(0.023) 0000)(0.000)(0.000 -0.576 0.528 3.32E-040.0670.00880.1304.1890.817 日 丌=2+ (0.051) (0.000)(0.007)(0.000) 0.616 0.452 289E-040.0420.00690.0734.5600.847 0.00) (0.174) (0.00(0.118)(0.000 -0.583 0.594 6.54E-050.0370.0180.1913.1770.809 (0.000 0.222) (0.000)(0.001)(0.000 0.419 3.76E-050.0180.0160.0282.8940.774 丌=:+ (0.0000 (0.441) (0.000(0.546)(0.000) 0.792 0.292 =3 2.11E-050.0160.01130.0383.3390.736 (0.0000 (0.494) (0.000)(0.474)(0.0000 0.22 0.7⊥0.6980.025 0.2660.0190.4423.8450.8:30 (0.000 (0.000)(0.003) (0.000)(0.007)(0.000 0.289 0.7|61.3430.05 0.2490.0230.3093.1220.86 1+ (0.000 0.002) (0.000)(0.001)(0.000) 0.357 0.7522.4800.008 0.1930.0250.28829740.902 0.000 周 0.013) (0.000)(0.000)(0.000) 0.465 0.52824.1860.001 0.0450.0210.1543.2480.779 2 0.00 (0.00)(0.354) (0.000)(0.206)(0.000) 0.733 0.337 790E-050.0180.014 0.0983.1980.861 T=2+0.00 0.557) (0.000)(0.111)(0.000) 0.714 0.333 524E-050.0190.0150.0523.0620.801 2 0.00) (0.527) (0.000(0.466)(0.000 0.178 0.6501.4190.033 0.2220.0230.1743.2460.799 0.001) (0.000)(0.066) (0.000)(0.487)(0.008) 0.569 月=1+ 0.5225.4790.011 0.1550.06040.2031.2610.595 0.0) (0.00)(0.131) (0.0(0.286)(0.150) 0.513 0.7703.9600.021 0.4290.0770.25713250.843 0.000) (0.000(0.011) (0.000)(0.058)0.045) 注:1、(内为显著性水平sg.2、周丌=3、3+和3-以及月r=2、2+、2-、3、3+、3-由于样本量过小没有进 行拟合.3、“ 表示该系数估计出现错误 从表4可以看出,对于 Pareto函数,整体拟合效果非常一般在日丌=1情形下可以得到较好的效果参 数估计,BDI指数口增长率跳跃时间尾部指数α为2.18.,说明在此种情况下是存在一定厚尾现象.但是其他 情形下都拟合不岀参数估计值,说明 Pareto函数不太适合分析跳跃时间的幂律特性 对于 Exponential函数,整体的R2值都在0.5以下,线性拟合效果非常差,尤其是在日丌=2、2+、2-、 第3期 余方平,等:基于跳跃时间和幅度的BDI指数波动幂律分布特性研究 615 3、3+、3-以及周π=2+、2-情形中岀现了尺度参数拟合不岀的问题.总体来说,BDI指数日、周和月增 长率跳跃时间用 Exponential函数拟合不太合适,对应得到的 Exponential函数尾部指数可能与实际情况存 在较大偏差 对于 Fokker- Planck函数整体拟合的较好,所有的情形线性拟合的2值都较高,每个参数估计的显著 性水平也非常高,这也说明了在大损失下的BDI指数口、周和月增长率整个或向上、向下跳跃时间的确具备 幂律特征.值得注意的是,在口丌-3和周丌-2-、2+情形中尺度参数β为负数,不满足大于0条件.总 的来说.BDI指数日、周和月增长率跳跃时间用 Fokker-Planck函数拟合非常合适 图5是BDI指数增长率对应 Pareto、 Exponential和 Fokker-Plak函数跳跃等待时间频率分布.从图 5看, Pareto函数和 Exponential函数线性不是很明显,而对于 Fokker-Planck函数则比较显著. 000平 100200c0 100006 1000 -4.0 -6 0O 0.03 6.0 sno-A00 5-800 8.00 日t=1x(Y( x(m-Y(日m=1+X(-Y x(nt-Y(r x(Int-Y(Inp 0.00高 0.6C 000 10.00‖04C 00 1000 2C 300 H十十 0.0CH十一 10001-100 10.00 U|-10o 1000 T-1- X0-Y(t X(Iint-Y(e XOnt-Y() H T=2 x(Y(t X(Int-Y(0 X(nf-Y(nt+ 040 203 5001000 50+ 200040012000501000 000什 儿U -60 020004C0 -6.00 x(-Y(0 0-Y( x(int-Y(InD) X(-Y( x(n-Y(f) b60 0. 00 040 ∠UU a0959010 020 ∠00050010.00 0 -4.00 -4.00 000 -400 0004000 -5.00 500-600 r=3x(-Y( 1-Y(2 Hint-Y(nr X(-Y(t x(Inf-Y(r (n)-yEint 000 000 200 5000 -2。00905c01000 -20010200 5.O0 U-20 503 6 5.00 010C200 600 60o 日x=3-XY() X(in -Y(r) X((rr) 周兀=1X0-Y(t) x(nfr-r(t) X(nf-Y(Inr)+ 10c200 5. C010 00 0.40 2C0400 50310.00 2.。 1.20 -400 -400 00 -4.00 0100z00 00 020040C 周x1+ X(r-Y: x(ino-r0 x(Int-Y(Int Y(2 X(nf-Y(e) X(nf-Y(nt)+ C.G0 0.00 0.00 2000 200 005.001000040 000c2000 C005001000 200 -4n 2000 6.0 -60 01000200 -4.00● 周x=2x(0-1(1 X(nr-r(2) x(nY(9周r=2+x-Y(9 x(mr-1() xiInn-lcnp 3.00 00 0.40 20500030034 0190 0.20 U LU 1.00 0. UU 20C0 -500 周x=2-X(Y x(int-Y(7) x(int-Y(int 月r=1x(-YO x(Inti-Y( x(no-Y(Int 注:1、局丌-3、3+和3-以及月π-2、2+、2-、3、3+、3-由于样本量过小没有列示.2、{X(∫) Y(t)}、{X(lnf)-Y(t)}和{X(lnf)-Y(lnt)}分别表示对应 Pareto、上 xponential和上 okker-Planck函 数等待跳跃时间频率分布图,其中Ⅹ表示纵轴、Y表示横轴 图5BDI指数增长率跳跃时间频率分布 616 系统工程理论与实践 第37卷 综上来看,BDⅠ指数增长率跳跃更新过程,蕴含在经过一定的等待时间后发生跳跃的概率较小,而每两 次跳跃的间隔时间则更加倾向于 Fokker -Planck函数假设,这可能是因为BDI市场中的交易主体会对市场 信息反应过度或者不足,对于BDI指数走势的预期往往基于历史交易资料和当前市场的宏观环境以及所有 能够掌握的信息,而任何信息的不完备或是具有偏差的解读都会造成事件发生的时间记忆特点.从这个角度 来讲, Fokker- Planck函数比 Pareto和 Exponential函数可以更加准确地模拟出BDI指数增长率跳吋间 情况 4.3跳跃幅度幂律特征分析 首先,根据式(24)和式(25)对分离得到跳跃程度参数丌=1、2和3三种情形下的跳肤样本新序 列{φ+}和{}进行转换,在这里档次取L=30,得到BDI指数收益率向上和向下跳跃幅度新序列 {+}和{、}图6是BD指数增长率对应 Pareto、 F xponential和 Fokker-Planck函数跳肤幅度频率 分布.从图6看, Pareto函数线性关系不是很明显,而 Exponential函数线性关系比较明显、显示出幂律分 布特点,而 Fokker- Planck函数则比较显著 一2 L.25 0.20米 02016004-20000002米 020-. c a.0a05.4c.45c 日x1+x-Y( x(ntrY() Y)日x1-xY(xmY x(nt-Yon4' u14200020米 0005a.0.15-4 20 20 20 .如 cg.05g.0g15 H 5.00 日x=2+xY X(-Y0 X(n-Y(nD 日=2-XY( x(Y( x(n-Y()e Dpoo.5 o do o.05 0.10 0.15-4 -2二 .05 4 世=0 a20 己二显5 日x=3+X/-Y( x(m力-Y X(IntY(nd x(-Y0 x(n-Y() x(nf-Y(n)e , 090140 2. 00a.2 294Q2000148+28a L.00 ++- c 050. 周x=1+x0Y(D X(inf-Y(y X(nf-i(n)) 周a=1-XY(D X(nfY(D XInf-Y(ny 0200.401-3.-2 0米 1. 吧.0 -2c 3.D HHt, 0 5二 周n=2+x/-Y( K(nf-Y( x(nf-Y(n/ 周=2-X(Y( X(f-Y0 X(Infh-y(ny+ 02 2,D ..0-2.00 20 10°905011502c .10 3. +H++ 0.00.501.00 c00.E0.生c01.50 鲁 月m=1-X(-Y xn-¥( <(nt-r(n/ 月:=1 Inti 注:1、周丌=3+和3-以及月丌=2+、2-、3+、3-由于样本量过小没有列示.2、{X(f)-Y()}、{X(nf)-Y()} 和{X(lnf)-Y(nl)}分别表示对应 Pareto、 Exponential和 Fokker-Planck函数跳跃幅度频率分布图,其中 X表示纵轴、Y表示横轴 图6BDI指数增长率跳跃幅度频率分布 其次,根据式(26)~(31)对应 Pareto、 Exponential和 Fokker-Planck函数线性拟合函数,利用最小二乘

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