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在对采样点构建插值曲面时,响应面法(Response Surface Method,RSM)通常是对整个曲面进行插值近似,由于计算量的原因,采用的近似曲面阶数通常不超过四阶。但是,对于高度非线性的曲面,使用低阶响应面在较大范围内近似毫无疑问会降低响应面的近似精度。分块响应面法采用一定的策略对近似空间进行合理分块,缩小响应面的近似范围,从而提高了响应面在该空间的近似精度。测试结果表明,在样本数量和样本空间变化时,分块响应面法的近似精度不低于响应面法,尤其是当样本数量较多时,分块响应面法的近似精度要远高于响应面法。这就使得分块响应面法能够有效地应用于多学科设计优化。
潘雷,谷良贤:分块响应面法研究 2009,45(19)39 4.0 4.0 lytical -Improved RSM Result 3.0 - d RSM Result 3.0 -Improved RSM Result 3.0 --Improved RSM Result 2.5 RSM Result RSM Res RSM Result -"RSM Result 20 2.0 20 1.5 10 1.0 0.5 0.5 0 10-8-6-4-20246810-10-8-6-4-20246810 0 10-8-6 20246810-10-8-6-4-20246810 (a)样本容量为5 (b)样本容量为10 (c)样本容量为25 (d)样本容量为50 图2不同样本容量下的两种方法近似性能比较 120 250 120 o Improved RSM O analytical o analytical O analytical 100 RSM Result SM Result 100 RSM rsm result Improved RSM Result lmproved RSM Result +Improved RSM Result 150 50 中中 5101520253035404550-20 10-8-6-4-20246810-10-86-4-20246810-10-8-6-4-20246810 图3不同样本容量的计算(a)样本容量为15时的近似结果(b)样本谷量为50时的近似结果(c)样本容量为200时的近似结果 误差方差变化 图4不同样本容量时学科a对自变量x1的响应拟合 st.y1=x1+x2+x3-0.2y2 (5)当其划分的子空间为整个近似空间时,分块响应面法即退化为 响应面法 h2=Vy +x, +x3 (6) 其中x1、x2和x为设计变量。y1和y2为学科响应。 4结论 该算例为NASA提出的CSSO算法测试模型,它曾在多篇 通过对响应面近似空间进行合理划分,并对每一个近似 文献中被引用。由于不同学科间存在严重耦合,在利用CSO空间采取响应面近似的方法形成了分块响应面法。实例计算 算法求解该模型时,通常把式(5)和式(6)视为两个子学科式表明: (5)和式(6),对两个子学科分别进行近似。对于具有三个设计 (1)分块响应面法继承了响应面法的连续性,能够在较大 变量的函数欲构建其一阶响应面需要至少10个样本点。下范围内对目标曲面进行近似,并且计算简单方便; 面分别采用RSM和IRSM对其进行近似,HRSM选取距插值点 (2)当样本容量增大时,分块响应面法可迅速提高其近似 最近的12个样本点构建二阶响应面。 精度,且改进后方法的计算精度远高于响应面法的计算精度。 图4给出样本容量从15~200过程中学科a随着设计变量 高效精确的近似技术是解决复杂多学科设计优化问题的 x1变化的图像。 个重要手段,提出的分块响应面近似技术可以随着样本容量 由图4可以得到同样的结论:随着样本容量的增大,IRSM的增大迅速地提高模型的近似精度,在多学科复杂设计优化问 的近似精度迅速提高。 题中具有很好的应用前景。 图5给出了几个典型样本容量下学科a的误差图像。由图 5也可看出随着样本容量的增大,IRSM可以迅速地提高近似参考文献: 精度,减小计算误差 I Krishnamurthy T Comparison of response surface construction meth- ds for derivative estimation using moving least squares, kriging 9d+ ++十++十 and Radial Basis functions[CVIAIAA, 2005 [2 Skillen M D, Crossley W ADeveloping response surface basedwin 87654321 weight equations for conceptual morphing aircraft sizingICViAIAA 2005 改进响应面法 [3] Fujita K, Kounoe Y High -order polynomial response surface with +响应面法 optimal selection of interaction terms[/AIAA, 2006 [4] Landman D, Simpson J, Vicroy D, et al. Efficient methods for com- 0 50100150200250300 plex aircraft configuration aerodynamic characterization using re- 样本容量 sponse surface methodologies[CV/AIAA, 2006 图5样本容量-误差图像 5 Jeon K S, Lee J W, Byun Y H. Development of repetitive response 综合上述研究可以看出,无论是具有多个极值的多元函数 surface enhancement technique for the multidisciplinary timization[CIAIAA, 2006 还是单个极值的一元函数,分块响应面法都具有较高的近似精 [6 Lee Y B, Jung S H, Choi D HProgressive quadratic response sur 度。分块响应面法最显著的特点是随着样本容量的增大可迅速 face modeling using inherited latin-hypercube design(CpiAlAa 有效地提高近似精度,这一点在多学科设计优化中很有用。而 2006

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