多项式判别系统的推广和应用* (1998年)

根据给定文件的信息，我们可以整理出以下知识点： 文章标题是“多项式判别系统的推广和应用”，这表明文章的内容很可能是关于多项式理论中判别式系统的一个推广，以及这个推广在实际应用中的价值。通常在多项式理论中，判别式是用来判断多项式方程根的性质，比如根的个数、实根和复根的分布等。 描述中提到，文章对于两个多项式f(x)和g(x)定义了推广的多项式判别序列D(f,g)，并给出了两个多项式的根的相对分布的显式判定。这意味着文章在已有的基础上，通过定义一个更一般的判别序列，不仅能够判定单个多项式方程的根的性质，还能够分析两个多项式根之间的相对位置关系。 接着，文章的标签是“自然科学 论文”，这说明文章属于自然科学领域，更具体地说是数学领域，尤其是多项式理论这一数学分支。 从给出的部分内容来看，文章引用了杨路、侯晓荣和曾振柄提出的多项式判别系统，该系统解决了实系数多项式在实数轴上实根的分类判定问题。但是该系统在计算较高次多项式的复合多项式的判别式序列时，计算复杂度过高，导致实用性降低。因此，文章作者提出了一个更一般的问题，即对于两个实系数多项式f(x)和g(x)，如何判定f(x)有多少个实根使得g(x)在该实根处取值大于零。这个问题的显式解答，可以推广到多个多项式的情形，即f(x)在g1(x), g2(x), ..., gn(x)组成的多项式组中的实根分布。 文章中还提及了西尔维斯特矩阵（Sylvester Matrix）的概念，这在代数学中是一种用于解决多项式方程组的矩阵。文中作者定义了推广的多项式判别序列，并且指出了通过这个推广的判别序列，可以计算出f(x)使得g(x)>0的根的数目，以及使得g(x)<0的根的数目。 文章还提到了标准Sturm序列（Standard Sturm Sequence），这是一种特殊的多项式序列，可以用来判定多项式的实根数量。在文章中，标准Sturm序列被用来构建判别式系统。 定理部分提供了一些关于所提推广判别式序列的性质和计算方法，这些定理有助于简化对于高次多项式实根分布的复杂计算问题，从而推广到更多的多项式和不等式组的实解判定中。 文章提到了多项式方程和不等式组的实解判定问题，并且提出了通过推广的多项式判别序列，能够给出比较明确的判定方法。这在实际应用，比如在工程计算、物理问题解决等领域是非常有价值的。 从这些内容中我们可以看出，这篇文章不仅在理论上对多项式的判别系统进行了深入的研究和推广，还考虑了如何将理论应用到实际问题中，尤其是在解决高次多项式实根个数和相对位置分布的问题上提供了新的方法和工具。