Banach流形上的重合指数 (1991年)

根据给定的文件信息，我们可以得到以下关于“Banach流形上的重合指数”的知识点： Banach流形是泛函分析中的一个基本概念，它是一种无限维的光滑流形，局部上类似于Banach空间。与有限维流形类似，Banach流形上的重合问题研究的是映射对之间的共同点。重合指数是解决这种问题的一个工具，它可以帮助我们了解在Banach流形上寻找映射对的共同解（即重合点）的性质。 Lefschetz重合定理是研究重合问题的一个重要工具，最初由Lefschetz在有限维流形上提出，后来被Mukherjea推广到一类光滑流形上。在Lefschetz重合定理的基础上，研究者们扩展了重合指数的概念到更一般的流形，包括Banach流形。 Eilenberg、Montgomery、Górniewicz、Granas、Kucharski和Skordev等人的工作促进了重合问题理论的发展。这些工作不仅深化了理论，也为解决重合问题提供了方法，使得在数学和应用数学领域，特别是在不动点理论、微分方程和动力系统中，重合问题的研究变得更加活跃。 在探讨Banach流形上的重合问题时，文中提到了若干关键概念和性质： - 映射对(p,q)：X到Y的两个连续映射，研究其重合问题即寻找X中的元素x，使得p(x)=q(x)。 - 重合点集合K(p,q)：包含所有满足p(x)=q(x)的点x的集合。 - 重合问题的可解性：分析在给定条件下，重合问题是否有解，即K(p,q)是否非空。 - Vietoris映射：连续的满映射，满足某些紧性和同调群的条件。 - 重合指数的定义：利用映射对(p,q)和Banach流形M中的收缩映射来定义重合指数。 - 同调群和紧集：在拓扑学中，同调群用于描述空间的形状特征，紧集则描述空间的一种性质。 - 收缩映射：具有特定性质的映射，使得可以应用不动点定理。 - 绝对邻域收缩嵌入：一种将流形嵌入到更高维空间的映射，其中嵌入空间的任意邻域可以在收缩映射下收缩到流形上。 - 重合指数的计算：涉及到计算特定映射对的重合指数，并利用此指数来判断重合问题的可解性。 - 收缩映射的构造：在特定条件下构造出收缩映射，使得可以应用重合指数的概念。 - 绝对邻域收缩嵌入在Banach空间中的应用：这是将Banach流形嵌入到Banach空间中的一种技术手段，便于分析和计算。 通过上述知识点，我们可以看出文档中涉及的内容是相当专业的数学研究，主要是利用抽象代数和拓扑学的工具来研究和解决在Banach流形上关于映射对的重合问题。这种研究在理论数学中属于先进领域，并且具有广泛的应用背景，比如在研究微分方程的解的性质、动力系统的稳定性分析等方面。由于这部分内容的专业性非常强，掌握它需要扎实的数学基础和对相关数学理论的深入理解。