针对变系数空间分数阶电报方程，利用Grtinwald-Letnikov分数阶导数的定义，在交替方向法的基础上构造了一种修正交替方向隐式差分格式．通过Fourier分析和Lax等价定理证明了所提出的格式是绝对稳定、相容和无条件收敛的．数值试验表明，修正交替方向隐式差分格式是有效和可靠的．
### 变系数空间分数阶电报方程的修正交替方向隐格式
#### 一、引言
随着非线性科学的迅速发展，人们逐渐意识到分数阶微分方程能够更精确地描述自然界中的各种复杂现象。传统的整数阶微分方程在处理具有异常扩散或长程相关性的现象时存在局限性，而分数阶微分方程则能够更好地反映这些特性。电报方程作为一种重要的双曲-抛物耦合型偏微分方程，在通信工程、化学扩散等领域有着广泛的应用。
#### 二、问题背景及研究意义
分数阶电报方程是一种特殊类型的电报方程，其中包含分数阶导数项，用于描述具有异常扩散特性的现象。例如，在通信工程中，分数阶电报方程可以更准确地模拟电信号在传输线上传播时的行为；在化学扩散过程中，它能更真实地反映物质在具有复杂结构或多孔介质中的扩散过程。
#### 三、方法概述
本文提出了一种针对变系数空间分数阶电报方程的修正交替方向隐式差分格式。该方法基于Grünwald-Letnikov分数阶导数定义，并结合了交替方向法的思想，旨在提高解的准确性和稳定性。
#### 四、Grünwald-Letnikov分数阶导数定义
Grünwald-Letnikov分数阶导数是一种常用的分数阶导数定义方式，适用于离散数据集的处理。对于一个函数\( f(t) \)，其左端点的Grünwald-Letnikov分数阶导数定义为：
\[
{}_{a}D_{t}^{\alpha}f(t) = \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^{\alpha}}\sum_{k=0}^{[\frac{t-a}{h}]}\omega_k^{(\alpha)}f(t-kh),
\]
其中，\(\omega_k^{(\alpha)}=(-1)^k \binom{\alpha}{k}\) 是分数阶导数的权系数，\([x]\) 表示不超过\(x\)的最大整数。
#### 五、修正交替方向隐式差分格式
1. **基本思想**：传统的交替方向法通过将复杂的多维问题分解成一系列较简单的低维子问题来求解。本文的方法是在此基础上进行改进，以适应分数阶导数的特点。
2. **格式构造**：通过对时间方向采用隐式格式，空间方向利用分数阶导数的定义进行离散化，构建了一个新的交替方向隐式差分格式。
3. **稳定性与收敛性**：利用Fourier分析和Lax等价定理证明了该格式的绝对稳定性、相容性和无条件收敛性。这意味着无论时间步长和空间步长如何选择，该格式都能保持良好的性能。
#### 六、数值试验结果
为了验证所提方法的有效性和可靠性，进行了若干数值试验。试验结果显示，修正后的交替方向隐式差分格式不仅能够准确捕捉到分数阶电报方程的解，而且具有较高的计算效率和稳定性。
#### 七、结论
本文针对变系数空间分数阶电报方程提出了一个新的修正交替方向隐式差分格式。通过理论分析和数值验证，证明了该方法的有效性和可靠性。这一成果不仅丰富了分数阶微分方程数值解法的研究，也为解决实际工程问题提供了一种有力的工具。
#### 八、未来工作展望
虽然本文提出的方法已经取得了一定的成果，但仍有许多值得进一步研究的方向，例如探索不同类型的分数阶导数定义对算法性能的影响，以及将该方法应用于更高维的问题中等。
