具连续分布滞量的二阶非线性 泛函微分方程解的振动性 (2009年)

关于二阶非线性泛函微分方程解的振动性研究，宋利梅在其发表的论文《具连续分布滞量的二阶非线性泛函微分方程解的振动性》中，探讨了此类方程的解在特定条件下全部呈现振动性质的充分条件。振动性是指微分方程的解随着时间的推移，其振幅不断变化而不趋于零。 在自然科学领域，特别是数学分支中，对泛函微分方程解振动性的研究具有重要的应用背景。例如，在生态系统研究中，某些种群数量随时间变化的模型可以用泛函微分方程来描述，而振动性则反映了种群数量的不稳定性。在控制理论中，这类方程用于描述系统行为，振动性分析有助于评估系统是否稳定。 文章首先引入了连续分布滞量的概念，这是一种在数学模型中出现的延迟现象，它可以表示为时间序列中的变化滞后。对于二阶非线性泛函微分方程，论文考虑了具有连续分布滞量的方程，并且给出了这类方程解振动的若干充分条件。在给出的条件中，涉及函数\(a(t)\)、\(f(t, \xi, y)\)、\(g(t, \xi)\)、和\(\mu(\xi)\)，这些函数分别代表了方程的不同组成部分。 文章指出，当方程的解中存在任意大的零点时，该解被认为是振动解；反之，如果解趋于一个定值，则被认为是非振动解。为了证明解的振动性，论文提出了定理1，并给出了证明过程。定理1中定义了函数\(Q(t, \xi)\)和\(F(y)\)，并提出了关于这些函数的若干假设。通过对这些函数的分析，证明了当给定条件满足时，方程的所有解都会表现出振动性。 论文中，作者宋利梅运用了Stieltjes积分形式来处理方程中的积分部分。Stieltjes积分是一种用于处理非连续函数积分的方法，它在处理带有分布滞量的函数时显得尤为有用。定理的证明涉及到对解的导数进行分析，并且通过构造特定的函数来推导出解振动的结论。通过对积分不等式的分析，证明了当某些积分条件成立时，解将呈现振动性质。 宋利梅的研究为我们理解二阶非线性泛函微分方程在特定条件下解的振动性提供了理论基础。这些理论成果可以被应用到如人口动态、生态学以及控制理论等多种实际问题中，帮助人们更好地理解和预测系统的动态行为。此外，论文中提供的充分条件和证明方法，对于后续研究者在泛函微分方程领域的深入研究，提供了参考和借鉴。