幂GCD矩阵及幂LCM矩阵的行列式的非整除性 (2010年)

在数学领域，特别是在数论和矩阵理论中，对矩阵行列式的研究一直是重要的研究方向。特别地，涉及到整数集合的GCD（最大公因数）和LCM（最小公倍数）的概念，在研究矩阵的特定结构时非常有用。本文讨论了与因子链相关联的幂GCD矩阵和幂LCM矩阵的行列式性质，并探讨了它们的非整除性特征。 要理解本文的内容，我们需要明确一些基本概念。一个由n个不同正整数组成的集合S，如果对于任意两个元素Xi和Xj，其最大公因数（gcd）属于集合S，则称集合S为最大公因子（gcd）封闭集。若S是因子封闭集，意味着集合S中的每个数的所有因子也在S中。一个因子链是指集合中的元素，可以按照某个置换排列，使得每个元素都是前面元素的因子。如果集合S是因子链，那么它自然也形成一个gcd封闭集，但反过来不一定成立。 文章的中心问题是研究当集合S为因子链时，其幂GCD矩阵和幂LCM矩阵的行列式的非整除性。幂GCD矩阵和幂LCM矩阵是指以S集合中元素的最大公因数的a次幂和最小公倍数的G次幂为元素的矩阵。在这两种矩阵中，GCD矩阵通常表示为(Sα)，而LCM矩阵表示为[Sα]。若矩阵的行列式为零，则称矩阵为奇异矩阵；反之，则称矩阵是非奇异的。 文章介绍了矩阵行列式的一些基本性质，比如，如果矩阵(A)的行列式不为零，那么矩阵(A)是非奇异的，这意味着它是可逆的。如果矩阵(A)可以表示为两个矩阵(B)和(C)的乘积，即A=BC，那么矩阵(A)的行列式等于矩阵(B)和矩阵(C)的行列式相乘，即det(A)=det(B)*det(C)。 Bourque和Ligh证明了一个重要结论，如果集合S是FC集，那么在整数矩阵环Mn(Z)中，GCD矩阵整除LCM矩阵。也就是说，存在一个整数矩阵A，使得LCM矩阵等于GCD矩阵和A的乘积。然而，矩阵的非整除性质并不直接导致行列式的非整除性。因此，研究者提出了一个公开问题，询问对于任意因子链S，是否存在行列式的非整除性。 文章还介绍了一些相关的研究成果，比如Hong在2002年和2004年对于定义在gcd封闭集上的矩阵行列式的研究，以及相关的简化公式。对于算术函数f在整数z和y的最大公因数和最小公倍数处的取值，Hong给出了行列式的计算公式，其中涉及到对集合中每个元素的最大公因子或最小公倍数的幂次的计算。 文章的结论是，对于任一因子链S，只要其元素个数大于或等于2，就可以给出幂GCD矩阵和幂LCM矩阵的行列式计算公式，并证明了其行列式具有非整除性。这意味着在一定条件下，尽管两个矩阵可能具有相似的结构和性质，它们的行列式值并不总是相互整除的，从而对行列式的性质提供了新的见解。 本文的研究在理论上有重要的意义，它不仅丰富了数论中关于矩阵行列式理论的内容，而且在整数矩阵环中关于矩阵整除问题的研究上也提出了新的视角。在实际应用中，这些矩阵理论的概念和方法可以应用于密码学、编码理论和优化问题等领域。