置换熵是一种用于量化非线性时间序列复杂性的新颖度量。置换熵方法基于时间序列数据点的排列来量化其结构，能够反映出时间序列的规则性与随机性。在对非线性系统动态特性进行研究时，置换熵因其简洁性和敏感性，已经成为一种强有力的分析工具。
文章中提出的基于两个索引的熵形式Sq, δ，是一种通用熵公式，其旨在统一非广泛统计力学中已知的Sq熵和可能适用于黑洞熵的Sd熵。这种熵公式提出了一个新的参数q和d，以期望在描述非线性时间序列复杂性时能够捕捉到更多的细节和趋势。由于非广泛统计力学引入了一个非广泛性参数q，它能够描述比传统统计力学更加广泛的数据分布特性，从而更全面地刻画出系统复杂性。
文章中提到的广义置换熵（PEq;d），正是基于上述熵形式Sq;d的一个扩展应用。通过使用参数q和d的适当值，广义置换熵能够放大对复杂性变化的敏感性。与传统的置换熵相比，广义置换熵在识别时间序列中的细微变化和趋势方面更为强大。
在实验部分，研究者应用了广义置换熵方法对合成数据和股票数据进行了分析。通过实验结果表明，在处理具有复杂动态特性的数据时，广义置换熵具有良好的识别能力，能够有效地揭示数据中的复杂性变化趋势。
值得注意的是，置换熵与样本熵（Sample Entropy）和其他熵类方法相比，因其独特的排列编码过程，在很多情况下显示出更好的性能。置换熵通常对噪声和时间序列长度变化更为鲁棒，而且它不需要进行时间序列的嵌入操作。而样本熵等方法则需要选取一个合适的嵌入维度来计算，这在很多情况下可能会引入主观性，影响结果的准确性。
文章还引用了一系列与熵和复杂系统有关的研究，如评估时间序列中的生理复杂性使用广义样本熵和替代数据分析、黑洞熵的有效共形描述、复杂系统的熵—广义广义熵、两个参数的对数和指数函数的一般化及其与玻尔兹曼-吉布斯-香农熵的关系、以及混沌映射和流的广义熵的一致性方法等。这些研究涉及了不同的熵形式，包括广义熵、非广泛熵、样本熵等，各自在不同的领域和问题上有其独特的应用和解释。
文章的作者是来自北京交通大学理学院数学系的Mengjia Xu和Pengjian Shang。北京交通大学作为一所具有百年历史的名校，理学院数学系在非线性科学及其应用领域有着深入的研究和丰富的成果。该研究成果也充分展现了中国科学家在复杂系统、非线性动力学以及信息理论等领域的研究水平和科研成果。
