Continued fractions and the derangement polynomials of types $A$...

连分式是一种表达形式，由一系列数字构成，其中每个数字由两个分数形式的项之间加号隔开，这种形式的数学表达式可以用来表达复杂的数学运算，包括无理数的近似值，例如π、e等的表示。连分式在许多数学分支中都有应用，包括数论、组合数学以及计算机科学中的算法分析等领域。 错排问题是一个著名的组合数学问题，研究的是一个给定的序列在不出现任何一个元素在原始位置上的情况下，有多少种不同的排列方式。错排多项式则是在错排问题的基础上，通过生成函数的方式，构建出反映错排数量变化规律的多项式。错排问题和错排多项式在数学和计算机科学中有着广泛的应用，比如在密码学、编码理论、数据分析等方面。 在研究错排问题和错排多项式时，A型和B型错排多项式是重要的分类。A型错排问题考虑的是所有元素都不在原来位置上的排列，而B型错排问题则允许一个元素固定在某个位置，其余元素都不在原来位置上的排列。这两种错排问题的解的表达形式可以被概括为错排多项式，它们分别对应着不同的数学表达式和组合数学模型。 指数发生函数是生成函数中的一种特殊类型，它在组合数学中用于描述序列的指数规律。指数发生函数具有形式上的特殊性，可以用来构建错排多项式，是研究错排问题的一个有力工具。 指数Riordan阵是一种特殊的矩阵，它在许多数学问题中，尤其是组合数学中有着广泛的应用。Riordan阵的概念是由Riordan引入的，这种矩阵的每一行都可以用一个生成函数来描述。指数Riordan阵理论提供了一种处理连分式和错排问题的有效工具，尤其在表示错排多项式方面展现出极大的潜力。 本文作者刘丽通过将A、B型错排多项式的一般发生函数进行连分式展开，提出了一种新的统一方法。文章基于指数发生函数及指数Riordan阵理论，对错排多项式的连分式展开进行了证明。这不仅在理论上丰富了错排问题的研究内容，而且为错排多项式的计算提供了一种新的高效手段。文章指出，通过这种方法可以得到错排多项式的对称和单峰特性，并对之前提出的有关错排多项式实根的猜想给出了解决方案。 刘丽在文章中提到的猜想，是由著名数学家Zha所提出的，关于A型错排多项式dn(q)只具有实根的猜想。刘丽的工作不仅基于中国国家自然科学基金等项目的资助，而且还得到了曲阜师范大学数学科学学院的支持，这反映了其研究的重要性和对相关领域的贡献。 作者简介中提到，刘丽是一位1982年出生的女性副教授，其研究方向为组合数学。她所参与的研究团队专注于应用概率统计学的科学创新，并得到了多个基金项目的支持。刘丽的研究工作对于推动错排问题的研究有着积极的作用，她的成果也将为相关的数学理论和实际应用提供重要参考。