偏序BCH-代数的一种自映射 (2006年)

### 偏序BCH-代数的一种自映射 #### 概述 本文献主要研究了偏序BCH-代数中一种特定类型的自映射，并探讨了这些自映射的有限乘积构成的集合形成一个交换幺半群的情况。此外，文中还对这个交换幺半群中可逆元的性质进行了深入分析。 #### BCH-代数基础 - **定义**：一个(2, 0)型的代数`<X, *, 0>`被称为BCH-代数，如果对于所有`x, y, z ∈ X`，它满足以下公理： - (H1) `x * x = 0` - (H2) 如果`x * y = 0`并且`y * x = 0`，那么`x = y` - (H3) `(x * y) * z = (x * z) * y` - **偏序关系ζ**：在BCH代数`<X, *, 0>`中定义了一个二元关系ζ如下： - `x ζ y` 当且仅当 `x * y = 0` #### 引理概述 - **引理1**：对于任意`x, y ∈ X`，以下结论成立： - (1) 如果`x ζ 0`，那么`x = 0` - (2) `x * x = 0` - (3) 如果`x ζ y`且`y ζ z`，那么`x ζ z` - (4) `x * (x * y) ≈ y` - (5) `0 * x = x` - (6) `0 * (x * y) = (0 * x) * (0 * y)` - **引理2**：如果`<X, *, 0>`是一个BCH-代数，那么`L(X)`（其中`L(X)`定义为`{x ∈ X | 0 * (0 * x) = x}`）是一个p半单BCI-代数。 - **引理3**：对于任何`x ∈ X`和任意`y, z ∈ X`，以下条件等价： - (1) `x ∈ L(X)` - (2) `y * (y * x) ≈ x` - (3) `(y * z) * (y * x) ≈ x * z` - (4) `(0 * z) * (0 * x) ≈ x * z` - (5) `0 * (0 * x) ≈ x` - (6) `0 * (y * x) ≈ x * y` - **引理4**：设`<X, *, 0>`是一个BCH-代数，`I`是`L(X)`的一个子代数，那么`I`是`X`的一个H-理想的充分必要条件是对于所有的`x ∈ X`和任意`a ∈ I`，都有`x = (x * a) * (0 * a)`。 #### 偏序BCH-代数及其自映射 - **定义**：如果在一个BCH-代数`<X, *, 0>`中，对于所有`x, y, z ∈ X`，如果`x ζ y`，那么`z * y ζ z * x`对所有`z ∈ X`都成立，那么称`<X, *, 0>`为偏序BCH-代数。 - **定理1**：设`<X, *, 0>`是一个偏序BCH-代数，则X中的二元关系ζ是一个偏序关系。这一结论通过证明ζ的传递性和反身性得以证实。 - **定理2**：设`<X, *, 0>`是一个偏序BCH-代数，对于任意`a ∈ X`，用`φ_a`表示X的自映射，其中`φ_a(x) = x * a`。令`M(X)`表示这些自映射的有限乘积全体构成的集合，则`M(X)`构成了一个交换幺半群。具体来说，`M(X)`定义为： - `M(X) = {φ_{a1} * φ_{a2} * ... * φ_{an} | a1, a2, ..., an ∈ X, n ∈ N}` #### 交换幺半群及可逆元性质的研究 - 文中进一步讨论了`M(X)`中可逆元的性质。这里的可逆元是指存在另一个元素使得两者相乘的结果等于单位元的元素。对于`M(X)`中的元素，如果存在某个自映射`φ`使得`φ * φ_a`或`φ_a * φ`等于单位映射，那么`φ_a`就是可逆的。 本文通过对偏序BCH-代数中的自映射及其有限乘积的研究，不仅构建了一个交换幺半群，而且还对该幺半群中可逆元的特性进行了细致的分析。这些结果不仅深化了我们对BCH-代数结构的理解，也为进一步研究BCH-代数及其应用提供了理论基础。