### Erdos-Sos猜想的注记
#### 杨国斌，张晓东
#### 摘要
本文探讨了Erdos-Sos猜想，并对其进行了深入的研究。Erdos 和 Sos 在多年前提出了一项著名的猜想：如果一个图\( G \)的平均度大于\( k - 1 \)，那么\( G \)包含了任何由\( k \)个顶点构成的树。此猜想尚未被完全证实，但已有一些重要的进展。本文中，作者们将树\( T \)根据其最大度数\( \Delta(T) \)进行分类，并证明了当\( k \geq 6 \)时，Erdos-Sos猜想成立，进而推断出该猜想对于\( k \leq 6 \)的情况也是正确的。
#### 关键词
- 图论
- Erdos-Sos猜想
- 树
- 最大度
#### 引言
在图论领域中，Erdos-Sos猜想是一个重要的未解决问题之一。它关注的是图的结构特性，特别是关于图中包含特定类型子图的问题。图\( G \)由顶点集\( V(G) \)和边集\( E(G) \)组成。如果边\( xy \)属于\( E(G) \)，则\( y \)被称为\( x \)的邻居，用\( N(x) \)表示。若图\( G \)中任意两点均相连，则\( G \)称为完全图，记为\( K_n \)，其中\( n = |V(G)| \)。若从图\( G \)中删除顶点集\( S \subseteq V(G) \)及其关联的所有边，所得的新图记为\( G - S \)；特别地，当\( S = \{x\} \)时，记为\( G - x \)。每个顶点的度数是指该顶点连接的边的数量，用\( d(x) \)表示。两个顶点\( x \)和\( y \)之间的最短路径的长度称为\( x \)和\( y \)的距离，记作\( d(x,y) \)。如果\( x \)和\( y \)之间不存在路径，则\( d(x,y) = \infty \)。图的直径定义为\( \text{diam}(G) = \max_{x,y \in V(G)} \{d(x,y)\} \)。
一个树中的度为1的顶点称为叶子。如果一个树中最多只有一个顶点的度大于1，则该树被称为蜘蛛图，度大于1的顶点被称为中心。蜘蛛图中的从中心到叶子的路径称为腿。如果一个树中所有度大于1的顶点都位于同一条路径上，则该树被称为毛毛虫图。
#### 已有结果回顾
- **定理1**：由Erdos 和 Sos 提出并证明，如果图\( G \)的平均度大于\( k - 1 \)，那么\( G \)包含一条长度为\( k - 1 \)的路径。
- **定理2**：如果图\( G \)的平均度大于\( k - 1 \)，树\( T \)有\( k \)个顶点且\( T \)的直径不超过4，则\( G \)包含\( T \)。
- **定理3**：如果图\( G \)的平均度大于\( k - 1 \)，蜘蛛图\( T \)有\( k \)个顶点且\( T \)的直径不超过9，则\( G \)包含\( T \)。
- **定理4**：如果图\( G \)的平均度大于\( k - 1 \)，树\( T \)有\( k \)个顶点且\( T \)是毛毛虫图，则\( G \)包含\( T \)。
- **定理5**：如果图\( G \)的平均度大于\( k - 1 \)，树\( T \)有\( k \)个顶点且存在顶点\( x \in V(T) \)使得\( x \)至少与\( \lceil k/2 \rceil - 1 \)个叶子相邻，则\( G \)包含\( T \)。
#### 新成果介绍
本文中，作者们对Erdos-Sos猜想进行了深入研究，并取得了以下重要成果：
- 通过将树\( T \)按其最大度数\( \Delta(T) \)分类，证明了当\( k \geq 6 \)时Erdos-Sos猜想成立。
- 进一步地，基于上述分类方法，证明了该猜想对于\( k \leq 6 \)也成立。
为了实现这一目标，作者们引入了两个关键定义：
- **定义1**：设图\( G \)的平均度大于\( k - 1 \)，\( G' \)为\( G \)的子图。如果\( G' \)的平均度也大于\( k - 1 \)，并且\( |V(G')| \)尽可能小，则称\( G' \)为\( G \)的极小子图。
这些新发现不仅为Erdos-Sos猜想提供了重要的证据，也为更广泛范围内的图论研究开辟了新的方向。通过这些工作，作者们不仅推进了该猜想的研究进程，还促进了图论领域的整体发展。
#### 结论
Erdos-Sos猜想是一项重要的开放问题，在图论领域具有深远的影响。本文通过对树\( T \)的最大度数\( \Delta(T) \)进行分类，结合现有的研究成果，证明了Erdos-Sos猜想对于特定范围内的\( k \)值是成立的。这些结果不仅对理解Erdos-Sos猜想本身具有重要意义，同时也为未来的研究提供了新的视角和方法。随着图论领域不断取得新的进展，Erdos-Sos猜想的最终证明或许就在不远的将来。
