关于炼钢-连铸过程的计划，本文提出了一种有效次梯度方法。炼钢-连铸过程（Steelmaking-Continuous Casting，SCC）涉及炼钢、精炼和连铸等环节，是钢铁生产的主要瓶颈之一。因此，对这一过程的高效和有效计划至关重要，这对于提高整个生产系统的生产力和降低生产成本有重要意义。
为了对SCC进行计划安排，本文提出了一种基于时间索引的方法来对调度问题进行建模。作者采用了拉格朗日松弛（Lagrangian relaxation，简称LR）方法来松弛机器容量约束。松弛问题采用高效的多项式动态规划算法解决。对应的拉格朗日对偶（Lagrangian dual，简称LD）问题通过一种带有偏移条件子梯度（deflected conditional subgradient）水平方法求解。与传统次梯度算法不同，本文提出的方法使用Brännlund的水平控制策略来取代对偶问题最优解已知的严格收敛条件，保证了收敛性。此外，通过引入带有偏移条件的子梯度来削弱传统次梯度算法中收敛速度慢的锯齿现象，从而提高了效率。
在实践中，高效有效的SCC调度对于钢铁生产的制造系统至关重要。然而，由于SCC调度具有组合性质和实际复杂约束（如作业分组约束、先决条件约束、不同的运输时间和设置时间等），使得调度极其困难。为了在可接受的计算时间内获得高质量的解，可以使用面向问题的方法，即本文提出的LR方法。然而，这种方法存在两个缺陷：一是其经验终止标准，如最大迭代次数或运行时间，这使得很难为各种问题找到通用规则；二是效率不高。
炼钢-连铸过程的有效调度问题可以看作是一个典型的作业车间调度问题。这类问题在数学上通常被归类为NP难问题，因此寻找一个精确解在实际应用中往往是不可行的。因此，研究者们通常会采用启发式或近似算法来获得可接受的近似解。
在这篇文章中，作者提到的拉格朗日松弛方法，是解决优化问题中一个常用的技术。通过对某些约束条件进行松动，然后在最优值的下界上进行搜索，从而简化问题的复杂度，使得问题更容易求解。在得到对偶问题的解之后，通过次梯度方法来寻找原问题的最优解。传统的次梯度方法在迭代过程中可能会遇到收敛速度慢的问题，作者提出的方法通过引入带有偏移的次梯度来减缓这一问题，从而提高算法的效率。
文章中提出的多项式动态规划算法是一种确定性算法，它能够保证在多项式时间内找到问题的最优解。这种算法在面对具有明显状态转移特性的优化问题时非常有效。动态规划算法通过将复杂问题分解成一系列子问题，并通过构造一个最优值函数来解决这些子问题，最终递归地得到原始问题的最优解。
本文介绍的方法对于那些对生产效率和成本控制有高要求的钢铁企业来说非常有实用价值。它能够帮助企业在保证生产流程顺畅的同时，还能够有效降低生产成本，提高市场竞争力。
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