双层线性规划是一种特殊的多层规划问题，它主要包含上层和下层两个层次的决策过程。在双层线性规划问题中，上层决策者首先给出一组决策变量的值，下层决策者根据上层的决策变量值来选择自己的最优策略。上层的目的是最大化或最小化自己的目标函数，而下层则需要在给定的约束条件下最小化自己的目标函数。由于这种决策过程的特点，双层线性规划问题也被称为 Stackelberg 游戏。
双层线性规划问题的求解比单层线性规划问题要复杂得多，因为它涉及到多个目标的优化。这类问题在数学上是非凸的，并且已被证明属于 NP-Hard 问题，即不存在已知的多项式时间复杂度算法能够解决所有这类问题。在实际应用中，双层线性规划问题广泛存在于经济、管理、交通、通信等领域。
传统的解决双层线性规划问题的方法包括极点搜索法、分支定界法和罚函数法。极点搜索法是通过在约束域的极点上寻找最优解，这些极点是约束域在高维空间中的“角点”或“边界点”。分支定界法是将问题分解为若干子问题，并排除那些不可能包含最优解的区域，逐步缩小搜索空间以找到最优解。罚函数法则在上层目标函数中加入惩罚项，通过不断调整惩罚项的大小来引导搜索过程，以获得满足约束条件的可行解。
在本研究中，作者提出了利用对偶理论将双层线性规划问题转化为单层问题的算法。这种方法的核心在于，对于给定的上层决策变量值，可以找到一个与之对应的下层问题的合理反应集，进而确定双层线性规划问题的可行解集。在这一过程中，对偶理论起到了关键作用，通过对偶问题的求解来获得原问题的最优解。
通过转换后的单层问题，我们可以利用标准的线性规划方法来求解问题，这为求解双层线性规划问题提供了一种有效的途径。对于转化后的问题，我们可以通过求解一系列线性规划问题，逐步逼近双层线性规划问题的局部最优解。在这一过程中，通过利用线性规划的性质和算法，例如单纯形法或者内点法，可以有效地找到局部最优解。
文章中提出的算法还包括了对于局部最优解存在性的证明，即如果双层线性规划问题有最优解，那么它一定可以在约束域的极点上达到。这为算法的设计和实现提供了理论保证。
值得注意的是，为了保证算法能够得到正确的结果，文章中提出了两个基本假设：S是非空紧集，以及对于每个固定的 x ∈ T，下层问题有唯一最优解。这两个假设为算法提供了数学上的支撑，并为问题的求解设定了必要的条件。
总结来看，双层线性规划问题是一种复杂的多层决策问题，它在理论和应用上都具有重要意义。本文提出的基于对偶理论的优化算法，为解决这类问题提供了一种有效的求解途径，具有重要的理论价值和实际应用潜力。随着算法的不断完善和优化，对于双层线性规划问题的研究和应用将更加深入，对于现实世界的多层决策系统的优化提供支持。
